Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 14
Distância mínima de uma reta a uma parábola no plano xy
Minimizando a função ƒ(x, y, u, y) = (x – u)2 + (y – y)2 sujeita
às condições y = x + 1 e u = v2, encontre a distância mínima no
plano xy entre a reta y = x + 1 e a parábola y2 = x.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Acompanhe!Através da minimização da função sujeito às restrições , devemos encontrar a distância mínima no plano da reta até a parábola
Passo 2
Temos por Lagrange que:
que nos leva a:
Assim
Como obtemos dois resultados, precisamos usar os valores em separado para seguir com a resolução. Vamos lá?Se , então:
Passo 3
Assim:
Resolvendo a equação temos:
que não possui solução real.Para e teremos:
E também:
Usando em nas equações temos:
Passo 4
Então:
Temos então que a distância mínima é . Note que a função não possui valores máximos.
Resposta
Resposta nos passos.