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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 9

Curva tangente a uma superfície Mostre que a curva

r ( t ) = ( l n ⁡ t ) i + ( t l n ⁡ t ) j + t k

é tangente à superfície

  x z 2 - y z + c o s ⁡ x y = 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Esta questão trata de gradientes e tangentes. A proposta é mostrar que a curva r ( t ) = ( l n ⁡ t ) i + ( t l n ⁡ t ) j + t k é tangente à superfície x z 2 - y z + c o s ⁡ x y = 1 no ponto ( 0,0 , 1 ) .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Iniciamos com a análise da superficie. Seja f ( x , y , z ) = x z 2 - y z + c o s ⁡ x y - 1 Temos então que o gradiente da função vale:

∇ f = z 2 - y s e n ⁡ x y i + ( - z - x s e n ⁡ x y ) j + ( 2 x z - y ) k

Aplicando o ponto ( 0,0 , 1 )

∇ f ( 0,0 , 1 ) = i - j

O plano tangente é definido como:

x - y = 0

Para a curva r = ( l n ⁡ t ) i + ( t l n ⁡ t ) j + t k temos a derivada:

r ' = 1 t i + ( l n ⁡ t + 1 ) j + k

Quando x = y = 0 , z = 1 temos:

t = 1

Aplicando o ponto na derivada da função r temos:

r ' ( 1 ) = i + j + k

Como ( i + j + k ) ⋅ ( i - j ) = r ' ( 1 ) ⋅ ∇ f = 0 , r é paralelo ao plano, e r ( 1 ) = 0 i + 0 j + k , sendo que r está contido no plano.

Resposta

Resposta nos passos.

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