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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 4

Encontrando uma função com derivadas parciais de segunda ordem condicionadas Suponha que f seja uma função duas vezes diferenciável de r , que r = x 2 + y 2 + z 2 e que

f x x + f y y + f z z = 0 .

Mostre que para algumas constantes a e b ,

f ( r ) = a r + b

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício supomos que f é uma função de r duplamente diferenciável, tendo r = x 2 + y 2 + z 2 e que f x x + f y y + f z z = 0 .Nosso objetivo é mostrarmos que para algumas constantes a e b , teremos a igualdade:

f ( r ) = a r + b

Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Para iniciar, vamos aplicar a regra da cadeia. Observe:

f x = d f d r ∂ r ∂ x f x x = d 2 f d r 2 ∂ r ∂ x 2 + d f d r ∂ 2 r ∂ x 2

Temos também de maneira similar pela regra da cadeia:

f y y = d 2 f d r 2 ∂ r ∂ y 2 + d f d r ∂ 2 r ∂ y 2 E f z = = d 2 f d r 2 ∂ r ∂ z 2 + d f d r ∂ 2 r ∂ z 2

Por outro lado:Para x :

∂ r ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2  e sua segunda derivada é  ∂ 2 r ∂ x 2 = y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 . 

Para y :

∂ r ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2  e sua segunda derivada é  ∂ 2 r ∂ y 2 = x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Para z:

∂ r ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2 e sua segunda derivada é ∂ 2 r ∂ z 2 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 .

Passo 3

Fazendo agora f x x + f y y + f z z = 0 teremos:

d 2 f d r 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 + d f d r y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 + d 2 f d r 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 + d f d r x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3   + d 2 f d r 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 + d f d r x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 = 0

Rearranjando para uma forma mais simples, chegamos a:

d 2 f d r 2 + 2 x 2 + y 2 + z 2 d f d r = 0

Como r = x 2 + y 2 + z 2 temos:

d 2 f d r 2 + 2 r d f d r = 0 , usando a notação  f ' .  d d r f ' = - 2 r f '  para  f ' = d f d r d f ' f ' = - 2 d r r

Assim teremos: l n ⁡ f ' = - 2 l n + l n ⁡ C

f ' = C r - 2  ou  d f d r = C r - 2

Para a = - C temos então algumas constantes a e b que:

f ( r ) = - C r + b = a r + b

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = cos ( x + 4 y ) , x = 5 t^4 e y = 1 // t
Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = x^2 + y^2 + x y , x = s e n t e y = e^t
Use a regra da cadeia para achar d z // d t .z = sqrt(1 + x^2 + y^2) , x = ln t e y = cos t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .3. z = s e nx ⋅ cos ⁡ y ,x = t ,y = 1 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .1. z = x y 3 - x 2 y ,x = t 2 + 1 ,y = t 2 - 1