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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 26

int_0^3 x sqrt(x + 1) d x

Passo 1

Uma dica muito boa para integrais que tem fatores elevados a 1/2 é fazer uma substituição chamando o fator com a raíz de uma letra, por exemplo:

u = sqrt(x + 1) ⟹ u^2 - 1 = x

Derivando com relação a x a equação acima

(d u)/(d x) = (d ( sqrt(x + 1) ))/(d x) = (1)/(2 sqrt(x + 1)) ⟹ d u = (1)/(2 sqrt(x + 1)) d x ⟹ d x = 2 u d u

Passo 2

Substituindo na nossa integral

int_(x = 0)^(x = 3) (u^2 - 1) u 2 u d u = 2 int_(x = 0)^(x = 3) ( u^4 - u^2 ) d u = 2 ((u^5)/(5) - (u^3)/(3))

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

2 int_(x = 0)^(x = 3) ( u^4 - u^2 ) d u = 2 ((u^5)/(5) - (u^3)/(3)) = 2 ( ((sqrt(x + 1))^5)/(5) - ((sqrt(x + 1))^3)/(3) ) (​|_0 -> 3 = (116)/(15)

Resposta

int_0^3 x sqrt(x + 1) d x = (116)/(15)

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