∫ 0 3 x x + 1 d x

Passo 1

Uma dica muito boa para integrais que tem fatores elevados a 1/2 é fazer uma substituição chamando o fator com a raíz de uma letra, por exemplo:

u   =   x + 1 ⟹ u 2 - 1 = x

Derivando com relação a x a equação acima

d u d x = d ( x + 1 ) d x = 1 2 x + 1 ⟹ d u = 1 2 x + 1 d x ⟹ d x = 2 u d u  

Passo 2

Substituindo na nossa integral

∫ x = 0 x = 3 u 2 - 1 u 2 u d u =   2 ∫ x = 0 x = 3 ( u 4 - u 2 ) d u   = 2 u 5 5 - u 3 3

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

2 ∫ x = 0 x = 3 ( u 4 - u 2 ) d u   = 2 u 5 5 - u 3 3 =   2 ( x + 1 5 5 - x + 1 3 3 ) ​ 0 → 3 = 116 15

Resposta

∫ 0 3 x x + 1 d x = 116 15

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