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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 27

int (d x)/(( 2 x + 1 ) sqrt(4 x^2 + 4 x ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

4 x^2 + 4 x = 4 x^2 + 4 x + 1 - 1 = (2 x + 1)^2 - 1

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta = sec^2 theta - 1

Seja

(2 x + 1) = s e c theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (2 x + 1))/(d x) = (d ( s e c theta ))/(d x) ⟹ secthetatgtheta (d theta)/(d x) = 2 ⟹ (1)/(2) secthetatgtheta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(x^2 + 2 x - 3 )) = int (d x)/((2 x + 1) sqrt((2 x + 1)^2 - 1 )) = int ((1)/(2) secthetatgtheta d theta)/(s e c theta sqrt((s e c theta)^2 - 1 ))

= int ((1)/(2) secthetatgtheta d theta)/(s e c theta sqrt((s e c theta)^2 - 1 )) = int (1)/(2) d theta = (1)/(2) theta

Passo 3

Retornando para a variável inicial

(1)/(2) theta = (1)/(2) a r c s e c ( 2 x + 1 )

Resposta

int (d x)/(( 2 x + 1 ) sqrt(4 x^2 + 4 x )) = (1)/(2) arcsec (2 x + 1) + C

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.18. ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x
31-50. Calcule as integrais por qualquer método.34. ∫ π 2 π 6 s e nx cos ⁡ x + 1 5 d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.17. ∫ 1 3 d x x x + 1
Calcule cada integral modificando, inicialmente, o formato do integrando e, então, fazendo uma substituição apropriada. ∫ t + 1 td t
Calcule as integrais com a ajuda das Fórmulas (5), (6), (7). ∫ d x x x 2 - π