∫ ( x + 1 ) d x ( x 2 + 2 x ) x 2 + 2 x  

Passo 1

Fazendo uma breve analise na integral podemos ver que o numerador é semelhante a derivada de uma das funções do denominador

Passo 2

Seja

u = x 2 + 2 x

Derivando em relação a x

d u d x = d ( x 2 + 2 x ) d x = 2 x + 2 = 2 x + 1 ⟹ 1 2 d u = x + 1 d x

Substituindo na nossa integral

∫ ( x + 1 ) d x ( x 2 + 2 x ) x 2 + 2 x   =   ∫ 1 2 d u u 3 2 = 1 2 ∫ u - 3 2 d u = - u - 1 2

Passo 3

∫ ( x + 1 ) d x ( x 2 + 2 x ) x 2 + 2 x   = - u - 1 2 =   - x 2 + 2 x - 1 2 + C

Resposta

∫ ( x + 1 ) d x ( x 2 + 2 x ) x 2 + 2 x   =   - x 2 + 2 x - 1 2 + C

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