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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 22

int (( x + 1 ) d x)/(( x^2 + 2 x ) sqrt(x^2 + 2 x ))

Passo 1

Fazendo uma breve analise na integral podemos ver que o numerador é semelhante a derivada de uma das funções do denominador

Passo 2

Seja

u = x^2 + 2 x

Derivando em relação a x

(d u)/(d x) = (d ( x^2 + 2 x ))/(d x) = 2 x + 2 = 2 (x + 1) ⟹ (1)/(2) d u = (x + 1) d x

Substituindo na nossa integral

int (( x + 1 ) d x)/(( x^2 + 2 x ) sqrt(x^2 + 2 x )) = int ((1)/(2) d u)/(u^((3)/(2))) = (1)/(2) int u^(- (3)/(2)) d u = - u^(- (1)/(2))

Passo 3

int (( x + 1 ) d x)/(( x^2 + 2 x ) sqrt(x^2 + 2 x )) = - u^(- (1)/(2)) = - (x^2 + 2 x)^(- (1)/(2)) + C

Resposta

int (( x + 1 ) d x)/(( x^2 + 2 x ) sqrt(x^2 + 2 x )) = - (x^2 + 2 x)^(- (1)/(2)) + C

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