∫ d x ( x + 4 ) x 2 + 4 x + 9  

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x 2 + 4 x + 9 =   x 2 + 4 x + 4 + 5 = x + 2 2 + 5    

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Seja

x + 2 = 5 t g θ

Derivando com relação a x a equação acima

d x + 2 d x = d ( 5 t g θ ) d x ⟹ 5 se c 2 θ ⁡ d θ d x = 1 ⟹ 5 se c 2 θ ⁡ d θ = d x

Substituindo na nossa integral

∫ d x ( x + 4 ) x 2 + 4 x + 9   =   ∫ d x ( x + 4 ) x + 2 2 + 5       = ∫ 5 se c 2 θ ⁡ d θ ( 5 t g θ + 2 ) 5 t g θ 2 + 5      

∫ 5 se c 2 θ ⁡ d θ 5 t g θ + 2 5 s e c θ = ∫ s e c θ d θ 5 t g θ + 2 =   ∫ 1 c o s θ 5 s e n θ + 2 c o s θ c o s θ d θ = ∫ 1 5 s e n θ + 2 c o s θ d θ

∫ 1 3 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ d θ

Agora podemos considerar

5 3 = c o s α   e 2 3 = s e n α

De modo que

∫ 1 3 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ d θ = ∫ 1 3 s e n ( θ + α ) d θ = 1 3 ∫ c s c ( θ + α ) d θ =   - 1 3 ln ⁡ | c s c θ + α + c t g ( θ + α ) |

c s c θ + α = 1 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ

c t g θ + α = 5 3 c o s θ - 2 3 s e n θ 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ

- 1 3 ln ⁡ | c s c θ + α + c t g ( θ + α ) | =   - 1 3 ln ⁡ 1 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ + 5 3 c o s θ - 2 3 s e n θ 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ

- 1 3 ln ⁡ 5 3 c o s θ - 2 3 s e n θ + 1 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ = 1 3 ln ⁡ 5 3 s e n θ + 2 3 c o s θ 5 3 c o s θ - 2 3 s e n θ + 1

Passo 3

Retornando para a variável inicial

Temos que s e n θ = x + 2 x 2 + 4 x + 9     e   c o s θ = 5 x 2 + 4 x + 9

Substituindo chegamos em

1 3 ln ⁡ 5 ( x + 4 ) 3 x 2 + 4 x + 9 - 2 x + 1

Resposta

∫ d x ( x + 4 ) x 2 + 4 x + 9   = 1 3 ln ⁡ ( x + 4 ) 3 x 2 + 4 x + 9 - 2 x + 1 + C

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