Vamos, primeiramente, completar o quadrado
x^2 + 4 x + 9 = x^2 + 4 x + 4 + 5 = (x + 2)^2 + 5
Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :
t g^2 theta + 1 = sec^2 theta
Seja
(x + 2) = sqrt(5) t g theta
Derivando com relação a x a equação acima
(d (x + 2))/(d x) = (d ( sqrt(5) t g theta ))/(d x) ⟹ sqrt(5) se c^2 theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ sqrt(5) se c^2 theta d theta = d x
Substituindo na nossa integral
int (d x)/(( x + 4 ) sqrt(x^2 + 4 x + 9 )) = int (d x)/(( x + 4 ) sqrt((x + 2)^2 + 5 )) = int (sqrt(5) se c^2 theta d theta)/(( sqrt(5) t g theta + 2 ) sqrt((sqrt(5) t g theta)^2 + 5 ))
int (sqrt(5) se c^2 theta d theta)/((sqrt(5) t g theta + 2) sqrt(5) s e c theta) = int (s e c theta d theta)/((sqrt(5) t g theta + 2)) = int ((1)/(c o s theta))/((sqrt(5) s e n theta + 2 c o s theta)/(c o s theta)) d theta = int (1)/(sqrt(5) s e n theta + 2 c o s theta) d theta
int ((1)/(3))/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) d theta
Agora podemos considerar
(sqrt(5))/(3) = c o s alpha e (2)/(3) = s e n alpha
De modo que
int ((1)/(3))/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) d theta = int ((1)/(3))/(s e n ( theta + alpha )) d theta = (1)/(3) int c s c ( theta + alpha ) d theta = - (1)/(3) ln | c s c (theta + alpha) + c t g ( theta + alpha ) |
c s c (theta + alpha) = (1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)
c t g (theta + alpha) = ((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)
- (1)/(3) ln | c s c (theta + alpha) + c t g ( theta + alpha ) | = - (1)/(3) ln |(1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) + ((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)|
- (1)/(3) ln |((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta + 1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)| = (1)/(3) ln |((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)/((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta + 1)|