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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 18

int (d x)/(( x + 4 ) sqrt(x^2 + 4 x + 9 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

x^2 + 4 x + 9 = x^2 + 4 x + 4 + 5 = (x + 2)^2 + 5

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Seja

(x + 2) = sqrt(5) t g theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (x + 2))/(d x) = (d ( sqrt(5) t g theta ))/(d x) ⟹ sqrt(5) se c^2 theta (d theta)/(d x) = 1 ⟹ sqrt(5) se c^2 theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(( x + 4 ) sqrt(x^2 + 4 x + 9 )) = int (d x)/(( x + 4 ) sqrt((x + 2)^2 + 5 )) = int (sqrt(5) se c^2 theta d theta)/(( sqrt(5) t g theta + 2 ) sqrt((sqrt(5) t g theta)^2 + 5 ))

int (sqrt(5) se c^2 theta d theta)/((sqrt(5) t g theta + 2) sqrt(5) s e c theta) = int (s e c theta d theta)/((sqrt(5) t g theta + 2)) = int ((1)/(c o s theta))/((sqrt(5) s e n theta + 2 c o s theta)/(c o s theta)) d theta = int (1)/(sqrt(5) s e n theta + 2 c o s theta) d theta

int ((1)/(3))/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) d theta

Agora podemos considerar

(sqrt(5))/(3) = c o s alpha e (2)/(3) = s e n alpha

De modo que

int ((1)/(3))/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) d theta = int ((1)/(3))/(s e n ( theta + alpha )) d theta = (1)/(3) int c s c ( theta + alpha ) d theta = - (1)/(3) ln | c s c (theta + alpha) + c t g ( theta + alpha ) |

c s c (theta + alpha) = (1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)

c t g (theta + alpha) = ((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)

- (1)/(3) ln | c s c (theta + alpha) + c t g ( theta + alpha ) | = - (1)/(3) ln |(1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta) + ((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)|

- (1)/(3) ln |((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta + 1)/((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)| = (1)/(3) ln |((sqrt(5))/(3) s e n theta + (2)/(3) c o s theta)/((sqrt(5))/(3) c o s theta - (2)/(3) s e n theta + 1)|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

Temos que s e n theta = (x + 2)/(sqrt(x^2 + 4 x + 9)) e c o s theta = (sqrt(5))/(sqrt(x^2 + 4 x + 9))

Substituindo chegamos em

(1)/(3) ln |(sqrt(5) ( x + 4 ))/(3 sqrt(x^2 + 4 x + 9) - 2 x + 1)|

Resposta

int (d x)/(( x + 4 ) sqrt(x^2 + 4 x + 9 )) = (1)/(3) ln |(( x + 4 ))/(3 sqrt(x^2 + 4 x + 9) - 2 x + 1)| + C

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