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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 28

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 ))

Passo 1

Uma ideia recorrente para resolver esse tipo de questão é completar quadrado no denominador porque assim podemos usar substituições trigonométricas, ou seja, saibam muito bem de cabeça todas as relações trigonométricas.

Passo 2

Vamos, primeiramente, completar o quadrado

9 x^2 + 12 x + 5 = 9 x^2 + 12 x + 4 + 1 = (3 x + 2)^2 + 1

Quando chegamos em expressões desse formato é bom lembrarmos da seguinte relação :

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Seja

(3 x + 2) = t g theta

Derivando com relação a x a equação acima

(d (3 x + 2))/(d x) = (d ( t g theta ))/(d x) ⟹ se c^2 theta (d theta)/(d x) = 3 ⟹ (1)/(3) se c^2 theta d theta = d x

Substituindo na nossa integral

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 )) = int (d x)/(sqrt((3 x + 2)^2 + 1 )) = int ((1)/(3) se c^2 theta d theta)/(sqrt((t g theta)^2 + 1 )) = int (1)/(3) s e c theta d theta =

= (1)/(3) int s e c theta d theta = (1)/(3) ln |s e c theta + t g theta|

Passo 3

Retornando para a variável inicial

ln |s e c theta + t g theta| = (1)/(3) ln |3 x + 2 + sqrt((3 x + 2)^2 + 1)|

Resposta

int (d x)/(sqrt(9 x^2 + 12 x + 5 )) = (1)/(3) ln |3 x + 2 + sqrt((3 x + 2)^2 + 1)| + C

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