Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 .

F(x, y) = y / raiz(x^2 + y^2) + x / raiz(x^2 + y^2) j

Passo 1

Faaaaaala galerinha, beleza? Bora lá!

Temos um campo vetorial F → , e precisamos esboçar o seu diagrama como está na figura 5 ou figura 9 :

F → x , y = y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →

Beleza, mas como está na figura 5 ou 9? Vamos lembrar:

Veja a figura 5 , o campo tem componentes vetoriais na direção - y   i e x   j , assim o vetor pode ter várias direções e ele aumenta conforme se afasta da origem.

Na figura 9 , temos um campo no espaço tridimensional. Repare que o campo tem apenas componente vetorial na direção z   k , logo vamos ter apenas vetores na direção do eixo z que aumentam conforme se afasta da origem.

Sabendo disso, nosso objetivo é avaliar o campo e fazer um esboço.

Quero que você repare uma coisa. Se pegarmos o seguinte vetor e dividirmos pela sua norma:

F → x , y = y i → + x j →

Sua norma é:

F → = y 2 + x 2

F → = y 2 + x 2

Dividindo o vetor F → x , y pela sua norma F → , temos exatamente o vetor dado no enunciado:

F → x , y = y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →

E a gente sabe que todo vetor que é dividido pela sua norma, é um vetor unitário!!! Ou seja, ele tem tamanho fixo!! E compare o vetor abaixo com a Figura 5 , você vai entender seu comportamento. F → x , y = y i → + x j →

Assuma também alguns pontos aleatórios e veja o comportamento desse vetor.

Com esse bizu, vai ficar fácil!!! Vamos nessa!!

Passo 2

Temos o seguinte campo vetorial:

F → x , y = y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →

Já compreendemos do passo 1 , que esse vetor é o seguinte vetor dividido pela sua norma:

F → x , y = y i → + x j →

Sua norma é:

F → = y 2 + x 2

F → = y 2 + x 2

Até aqui ok né!!! Sabe porque fizemos isso?

Porque fica mais fácil determinarmos como o campo vetorial se comporta, a partir desse vetor:

F → x , y = y i → + x j →

Passo 3

Vamos fazer uma tabela com alguns valores de ( x , y ) e os respectivos vetores nesses pontos:

Quando falamos em relação aos quadrantes.

No primeiro quadrante o vetor sempre aponta no sentido positivo do eixo x e y .

No segundo quadrante, o vetor aponta no sentido positivo do eixo x e no sentido negativo do eixo y .

No terceiro quadrante, o vetor aponta no sentido negativo do eixo x e y .

Por fim, no quarto quadrante, o vetor aponta no sentido negativo do eixo x e no sentido positivo do eixo y .

Assim, sabendo o comportamento em cada quadrante, podemos esboçar o campo vetorial da seguinte forma no sistema cartesiano:

Resposta

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