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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 29

Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule

∑ k = 1 4 f x k *   ∇ x

Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo e (c) a extremidade direita de cada subintervalo. Ilustre cada parte com um gráfico de f que inclui os retângulos cujas áreas estão representadas na soma.

f x = cos ⁡ x ; [ 0 ,   π ]

Passo 1

  1. Vamos começar pela extremidade da esquerda, como tá pedindo. A figura com os retângulos é assim:

    2. ∇ x = π - 0 n = π 4

    x k * = π 4 k - 1

    Aplicando na fórmula...

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 cos ⁡ ( π 4 k - 1 π 4

    Resolvendo o somatório encontramos:

    A = π 4

    Passo 2

  2. Agora pelo ponto médio. A figura:

    3. Algebricamente agora, a gente calcula:

    ∇ x = π - 0 n = π 4

    x k * = π 4 k - 1 2

    Aplicando na fórmula:

    A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 cos ⁡ π 4 k - 1 2 π 4

    Resolvendo esse somatório, a gente acha:

    A = 0

    Passo 3

  3. Por último, a gente faz pela extremidade direita.

E agora a gente calcula...

∇ x = π - 0 n = π 4

x k * = π k 4

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 4 cos ⁡ π k 4 π 4

E resolvendo o somatório encontramos:

A = - π 4

Resposta

  1. π 4
  2. 0
  3. - π 4
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