Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 2 - 1 ,   0,2

Passo 1

Segundo a definição 5.4.5, a área líquida entre a curva de f ( x ) em [ a , b ] , em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 2 - 0 n = 2 n

x k * = 2 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 2 k n 2 - 1 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 k 2 n 2 - 1 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ 2 n ∑ k = 1 n 4 k 2 n 2 - 1

A =   lim n → ∞ ⁡ 2 n 4 n 2 ∑ k = 1 n k 2 - ∑ k = 1 n 1

Passo 3

Resolvendo os somatórios...

A = l i m n → ∞ 2 n 4 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 - n

A = l i m n → ∞ 2 n 2 3 n 2 n 2 + 3 n + 1 - n  

A = l i m n → ∞ 2 n 4 n 3 + 2 + 2 3 n - n  

A = l i m n → ∞ 8 3 + 4 n + 4 3 n - 2  

A = 8 3 - 2

A = 2 3

Resposta

A = 2 3

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