Dizemos que duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de intersecção, e dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada membro de uma família for ortogonal a cada membro da outra. Essa terminologia é usada nestes exercícios.

A Figura Ex-39 mostra alguns membros típicos das famílias dos círculos (curvas escuras) e (curvas cinzas). Mostre que essas famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. [Sugestão: Para as retas tangentes serem perpendiculares

em um ponto de intersecção, as inclinações dessas retas tangentes devem ser recíprocas negativas uma da outra.]

Após a derivação, isolamos :

Substituindo na expressão inicial:

Isolamos, agora, o :

Para obtermos a família ortogonal às curvas cinzas, invertemos a expressão e resolvemos a EDO.

Assim, obteremos a solução:

Prontinho!!