Dizemos que f é uniformemente contínua em [a, b] se, dado qualquer ε > 0 , existe um δ > 0 , tal que, se x_1, x_2 estão em [a, b] e |x1 - x2| < ε , então | f(x1) - f(x2) | < ε . É possível demonstrar que uma função contínua em [a, b] é uniformemente contínua. Use isso e a figura do exercício 86 para mostrar que, se f é contínua e ε > 0 é dado, é possível fazer U - L ≤ ε . (b - a) , tornando o maior dos ∆x_k suficientemente pequeno.

Passo 1

Então galera, tirando os dados da questão anterior, teremos o seguinte:

U = ∑ i = 1 n ∆ x i M i

Ademais:

L = ∑ i = 1 n ∆ x i m i

Se fizermos a diferença entre eles, assim como a questão pede, teremos:

U - L = ∑ i = 1 n ∆ x i M i - ∑ i = 1 n ∆ x i m i

U - L = ∑ i = 1 n M i - ∑ i = 1 n m i ∆ x i

∴ U - L = ∑ i = 1 n ( M i - m 1 ) ∆ x i

Passo 2

De acordo com o que foi discutido lá no início da seção 3 do George, podemos escrever essa diferença que fizemos em uma desigualdade da seguinte forma:

∑ i = 1 n ( M i - m 1 ) ∆ x i < ∑ i = 1 n ε . ∆ x i

Se resolvermos a somatória com o ε , temos que como a somatória não está em função dele, podemos retirá-lo da somatória, certo? Sendo assim:

∑ i = 1 n ε . ∆ x i = ε ∑ i = 1 n ∆ x i

Como o resultado dessa somatória já é conhecido, então teremos:

ε ∑ i = 1 n ∆ x i = ε . b - a

∴ U - L < ε . b - a

CQD.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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