Dizemos que é uniformemente contínua em se, dado qualquer , existe um, tal que, se estão em e , então . É possível demonstrar que uma função contínua em é uniformemente contínua. Use isso e a figura do exercício 86 para mostrar que, se é contínua e é dado, é possível fazer , tornando o maior dos suficientemente pequeno.

De acordo com o que foi discutido lá no início da seção 3 do George, podemos escrever essa diferença que fizemos em uma desigualdade da seguinte forma:

Se resolvermos a somatória com o , temos que como a somatória não está em função dele, podemos retirá-lo da somatória, certo? Sendo assim:

Como o resultado dessa somatória já é conhecido, então teremos:

CQD.