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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 1

Monte de areia: integrais duplas e triplas A base de um monte de areia cobre a região no plano xy que é delimitada pela parábola x2 + y = 6 e a reta y = x. A altura da areia acima do ponto

(x, y) é x2. Expresse o volume de areia como (a) uma integral

dupla, (b) uma integral tripla. Em seguida, (c) encontre o volume

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Iremos determinar o volume de uma pliha de areia que cobre a região do plano xy que é limitada pela curva x 2 + y = 6 e pela linha y = x . A altura da pilha de areia acima de qualquer ponto do plano xy é dada por x 2 .

Passo 2

Primeiro iremos determinar o ponto onde ocorre a interceptação da linha com a curva, temos que:

x 2 + y = 6 y = x

Combinando as duas expressões teremos:

x 2 + x - 6 = 0

Sendo assim, os interceptos ocorrem em x = - 3 e   x = 2 .

Passo 3

(a) Primeiro iremos expressar o volume através de uma integral dupla:

V = ∫ - 3 2   ∫ x 6 - x 2   x 2 d y d x

Passo 4

(b) Agora iremos expressar o volume através de uma integral tripla:

V = ∫ - 3 2   ∫ x 6 - x 2   ∫ 0 x 2   d z d y d x

Passo 5

(c) E finalmente iremos determinar o volume:

V = ∫ - 3 2   ∫ x 6 - x 2   x 2 d y d x

Passo 6

Integrando em y :

V = ∫ - 3 2     x 2 y x 6 - x 2 d x V = ∫ - 3 2     x 2 6 - x 2 - x d x V = ∫ - 3 2     6 x 2 - x 4 - x 3 d x

Passo 7

Agora integrando e m x :

V = 2 x 3 - x 5 5 - x 4 4 - 2 3 V = 125 4

Resposta

Portanto o volume é V = 125 4 .

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