28. Enchendo um balão O volume V= ( 4 / 3 ) π r 3 de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio.

a. Qual é a taxa (em p é s 3 / p é s ) de variação do volume em relação ao raio quando r = 2   p é s ?

b. Quanto, aproximadamente, o volume do balão aumenta quando o raio muda de 2 para 2,2 pés?

Passo 1

a.

A taxa de variação do volume em relação ao raio é igual a derivada da função em relação ao raio. Então derivando a função:

d V d r = V ' r = 4 3 π 3 π 2

V ' r = 4 π π 2

Quando o raio é r = 2   p é s :

V ' 2 = 4 π ( 2 ) 2

V ' 2 = 16 π     p é s 3 / p é s

Passo 2

b.

A taxa de variação do volume, ser de V ' 2 = 16 π     p é s 3 / p é s

Significa que quando temos um raio igual a r = 2   p é s e aumentamos o raio em 1   p é , o seu volume deve crescer, aproximadamente, 16 π   p é s 3 .

Como o enunciado pede qual é o aumento do volume quando o raio aumenta 0,2   p é s , só precisamos multiplicar a taxa de variação por quanto o raio aumentou:

Δ V = 16 π   p é s 3 p é s ⋅ 0,2   p é s

Δ V = 3,2 π   p é s 3

Resposta

a. V ' 2 = 16 π     p é s 3 / p é s

b. Δ V = 3,2 π   p é s 3

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