Dê o domínio e esboce o gráfico.

p(g(x)) = (x^2 - 2x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá?

Para esboçar o domínio precisamos pensar se essa função “falha” para algum valor de x . Mas como assim?

Bom, sabemos de duas grandes “falhas” da matemáticas:

Divisão por zero

Raiz (de índice par) negativa.

Daí para dar o domínio da função basta identificar se alguma dessas situações pode acontecer na função que temos.

Dá uma espiada lá na função. Xiiii, temos uma divisão! Aqui atenção! Uma as regras é que o denominador não pode assumir o valor zero. Então o denominador deve ser != 0 :

x - 1 != 0

Logo temos que a função h ( x ) falha quando temos x = 1 . Mas e em outros lugares? Outros lugares não temos uma indeterminação, portanto ela pode assumir todos os outros valores de x =)

Com isso o domínio dessa função são quase todos os números reais, A NÃO SER pelo valor x = 1 , que deve ser retirado!

Assim temos:

D o m_h = R - 1

Uma outra forma de escrever é:

D o m_h = { x in R ∕ x != 1 }

Passo 2

Agora vamos ver quanto ao gráfico. Podemos fatorar o numerador da seguinte forma:

x^2 - 2 x + 1 = (x - 1) ( x - 1 )

Daí podemos simplificar a função h ( x ) :

h (x) = ((x - 1) ( x - 1 ))/(x - 1) = x - 1

Daí você se pergunta se não podíamos ter feito isso antes, para determinar o domínio. E eu respondo: Não! Embora essas duas representações graficamente sejam iguais, o domínio de x - 1 são todos os reais, ao passo que a função original apresenta uma descontinuidade em x = 1 . Certo?

Passo 3

Então o que temos é uma reta decrescente. Vamos ver onde ela corta os eixos x e y ? Bora lá!

O eixo x :

0 = x - 1 :. x = 1 :. ( 1,0 )

O eixo y :

y = 0 - 1 :. y = - 1 :. ( 0 , - 1 )

Então temos dois pontos: ( 1,0 ) e ( 0 , - 1 ) .

Mas atenção!! Aqui no ponto ( 1,0 ) , a bolinha é ABERTA! Pois x = 1 não pertence ao domínio da função!

Vamos colocar isso no gráfico?

Resposta

D o m_h = { x in R ∕ x != 1 }

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