Dê o domínio e esboce o gráfico.

j) f(x) = - 1 / (x^2)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Essa função é do tipo função racional f (x) = (p (x))/(q (x)) . Se vocês não se lembrar dela, é só dar uma olhadinha no exemplo 3 do livro texto, ok?

O domínio de uma função racional do tipo f (x) = (p (x))/(q (x)) tem seu domínio dado por:

D o m_f = {x in R| q (x) != 0 }

Ou seja, para nossa função q (x) = x^2 , temos que o domínio vai ser onde:

q (x) = x^2 != 0 :. x != 0

Assim o domínio pode ser escrito como:

D o m_f = {x in R| x != 0 }

Passo 2

Mas e a cara dela? Essa função tem a mesma cara de uma hipérbole, no entanto, toda parte de cima, ou seja, positiva, passa a ser negativa, pois temos um - 1 multiplicando a função. É o mesmo formato encontrado no exercício anterior a esse, o 15 i , mas ao invés de ser todo na parte positiva de y , vai ser na parte negativa. Mas temos que fazer uma análise mais formal disso =)

Vamos ao esboço do gráfico?

Vamos primeiro entender o que acontece para x > 0 : à medida que x vai aumentando, y = - 1 // x^2 vai se aproximando de zero (por valores negativos), por exemplo:

  • x = 10 ; y = - (1)/(10^2) = - (1)/(100) = - 0,01
  • x = 100 ; y = - (1)/(100^2) = - (1)/(10000) = - 0,0001

E assim por diante. À medida que x vai se aproximando de zero, y vai aumentando, saca só:

  • x = (1)/(5) ; y = - (1)/(((1)/(5))^2) = - 25
  • x = (1)/(20) ; y = - (1)/(((1)/(20))^2) = - 400

E assim por diante. E esse comportamento se repete ( sempre fornecendo valores negativos de y ) quando olharmos para valores de x < 0 .

Passo 3

Para esboçar melhor o gráfico, vou escolher quatro valores de x (dois positivos e dois negativos) e calcular cada respectivo valor de y :

Então os pontos que pertencem ao gráfico são: (- 2 , - 1 // 4) ; (- 1 , - 1) ; ( 1 , - 1 ) e ( 2 , - 1 // 4 ) . Agora sabendo desses pontos e do comportamento geral da função (descrevemos ali no passo anterior) podemos esboçar o gráfico:

Resposta

D o m_f = {x in R| x != 0 }

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