Se o domínio de f for o conjunto de todos os números reais e f'(x) = c * f(x) para todo x onde c é uma constante, prove que existe uma constante k para a qual f(x) = k * e^(cx) para todo x .

Sugestão: considere a função g para o qual g(x) = f(x) * e^(-c x) e encontre g'(x)

Passo 1

Vamos usar a sugestão que ele deu:

g x = f x e - c x

Agora, vamos achar g ' x . Para isso vamos usar a regra do produto:

g ' x = f x ' e - c x + f x e - c x '

g ' x = f ' x e - c x + f x - c e - c x

g ' x = f ' x e - c x - c f x e - c x

No enunciado ele disse que:

f ' x = c f x

Logo:

g ' x = f ' x e - c x - f ' x e - c x = 0

g ' x = 0

Mas se a derivada é 0 , então g ' x éuma constante

Passo 2

Vamos fazer

g x = k

Então:

f x e - c x = k

Como

e - c x   = 1 e c x

Teremos:

f x 1 e c x = k

f x e c x = k

f x = k e c x

Logo, temos que a função f x é da forma que ele falou

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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