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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 39

Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer.

a b x = a x b x

Passo 1

Para isso, vamos usar que

a = e ln ⁡ a

b = e ln ⁡ b

Assim, vamos ter

a b = e ln ⁡ a . e ln ⁡ b

Pelas propriedades de potência em e :

a b = e ln ⁡ a + ln ⁡ b

Passo 2

Vamos substituir isso que achamos na expressão que ele quer:

a b x = e ln ⁡ a + ln ⁡ b x

Essa propriedade para a base e fica:

a b x = e x ln ⁡ a + ln ⁡ b = e x ln ⁡ a + y ln ⁡ b

Pelas propriedades de potência:

a b x = e x ln ⁡ a e y ln ⁡ b

a b x = e x ln ⁡ a e y ln ⁡ b = e ln ⁡ a x e ln ⁡ b y

Pelas propredidades de log

e ln ⁡ a = a

e ln ⁡ b = b

Então

a b x = e ln ⁡ a x e ln ⁡ b y = a x a y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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