Prove que

D_x^n(ln(x)) = (-1)^(n-1) \* (n-1)! / x^n

Sugestão: Use indução matemática.

Passo 1

A indução matemática e o seguinte.

Devemos mostrar que o que ele pede vale para um valor inicial, no caso para n = 1 que é a primeira derivada.

Depois, supomos que vale para um valor k , e temos que concluir que vale também para k + 1

Vamos começar mostrand oque a fórmula dá certinho a primeira derivada de ln ⁡ x

Se n = 1 então:

- 1 1 - 1 1 - 1 ! x 1 = - 1 0 0 ! x

Como 0 ! = 1 , vamos encontrar

- 1 1 - 1 1 - 1 ! x 1 = - 1 0 0 ! x = 1 x

Que realmente é a primeira derivada de ln ⁡ x

Passo 2

Vamos supor que vale

D x k ln ⁡ x = - 1 k - 1 k - 1 ! x k

Para algum k

Temos que mostrar que vale para k + 1 , para isso, vamos derivar D x k ln ⁡ x

D x k + 1 ln ⁡ x = D x k ln ⁡ x '

Logo

D x k + 1 ln ⁡ x = - 1 k - 1 k - 1 ! x k '

Ecrevendo

1 x k = x - k

D x k + 1 ln ⁡ x = - 1 k - 1 k - 1 ! x - k '

D x k + 1 ln ⁡ x = - 1 k - 1 k - 1 ! - k x - k - 1

Como

k k - 1 ! = k !

- 1 k - 1 - 1 = - 1 k

x - k - 1 = 1 x - - k - 1 = 1 x k + 1

Vamos ter:

D x k + 1 ln ⁡ x = - 1 k k ! x k + 1

Que é exatamente a fórmula para k + 1 .

Logo, pelo princípio da indução finita, temos que

D x n ln ⁡ x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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