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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 70

Prove que

D_x^n (ln x) = (- 1)^(n - 1) ((n - 1) !)/(x^n)

Sugestão: Use indução matemática.

Passo 1

A indução matemática e o seguinte.

Devemos mostrar que o que ele pede vale para um valor inicial, no caso para n = 1 que é a primeira derivada.

Depois, supomos que vale para um valor k , e temos que concluir que vale também para k + 1

Vamos começar mostrand oque a fórmula dá certinho a primeira derivada de ln x

Se n = 1 então:

(- 1)^(1 - 1) ((1 - 1) !)/(x^1) = (- 1)^0 (0 !)/(x)

Como 0 ! = 1 , vamos encontrar

(- 1)^(1 - 1) ((1 - 1) !)/(x^1) = (- 1)^0 (0 !)/(x) = (1)/(x)

Que realmente é a primeira derivada de ln x

Passo 2

Vamos supor que vale

D_x^k (ln x) = (- 1)^(k - 1) ((k - 1) !)/(x^k)

Para algum k

Temos que mostrar que vale para k + 1 , para isso, vamos derivar D_x^k (ln x)

D_x^(k + 1) (ln x) = (D_x^k (ln x))^'

Logo

D_x^(k + 1) (ln x) = ((- 1)^(k - 1) ((k - 1) !)/(x^k))^'

Ecrevendo

(1)/(x^k) = x^(- k)

D_x^(k + 1) (ln x) = ((- 1)^(k - 1) (k - 1) ! x^(- k))^'

D_x^(k + 1) (ln x) = (- 1)^(k - 1) (k - 1) ! (- k) x^(- k - 1)

Como

k (k - 1) ! = k !

(- 1)^(k - 1) (- 1) = (- 1)^k

x^(- k - 1) = (1)/(x^(- (- k - 1))) = (1)/(x^(k + 1))

Vamos ter:

D_x^(k + 1) (ln x) = (- 1)^k (k !)/(x^(k + 1))

Que é exatamente a fórmula para k + 1 .

Logo, pelo princípio da indução finita, temos que

D_x^n (ln x) = (- 1)^(n - 1) ((n - 1) !)/(x^n)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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