Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de c o t g x - c o t g ⁡ 3 4 π x - 3 4 π quando x é 29 40 π , 59 80 π , 299 400 π , 599 800 π , 2999 4000 π e x é 31 40 π , 61 80 π , 301 400 π , 601 800 π , 3001 4000 π . A que quociente parece tender quando x se aproxima de 3 4π ? Ache lim x → 2 3 π ⁡c o s e c x - c o s e c ⁡ 2 3 π x - 2 3 π , interpretando-o como uma derivada.

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 50

Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de quando x é , , , , e x é , , , , . A que quociente parece tender quando x se aproxima de ?

Ache , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

A letra a) nos pede para calcular o valor da função dada no enunciado para cada um dos valores de x, depois devemos aproximar o resultado em até quatro casas decimais, ou seja, faremos um arredondamento dos resultados, e depois colocaremos em uma tabela:

Passo 2

Com o primeiro valor que deram para a gente , vamos substituir na função f(x):

Agora já podemos calcular o valor das cossecantes e das frações no denominador:

Resolvendo as subtrações e a divisão:

Passo 3

Agora podemos arredondar o valor da função f para quatro casas decimais:

Passo 4

Podemos repetir os mesmos passos para cada valor de x dado no enunciado, e com eles vamos montar a tabela abaixo:

Os cinco primeiros valores de x se aproximam de e os valores da função se aproximam para por valores menores, enquanto os cinco últimos se aproximam por valores maiores, na medida que x se aproxima de .

Passo 5

Já na letra b) a questão pede para calcularmos o limite dado, mas através de uma interpretação de derivada.

Com isso, pegamos a definição de derivada:

E comparamos com o limite que foi dado:

Podemos perceber que o limite é a derivada da função cotangente no ponto , então fazendo a derivada:

E substituindo na nossa derivada:

Resposta

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