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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 29a

Drenagem de um reservatório hemisférico Agua escoa a uma taxa de 6 m 3 /min de um reservatório hemisférico com raio de 13 m, mostrado aqui em perfil.

Responda às questões a seguir, sendo o volume de água em um recipiente hemisférico de raio R dado por V = π 3 y 2 ( 3 R - y ) , quando a água tiver y metros de profundidade.

a. Qual será a taxa de variação do nível da água quando a profundidade for de 8 m?

b. Qual será o raio r na superfície da água quando ela tiver y metros de profundidade?

c. Qual será a taxa de variação do raio r quando a profundidade da água for de 8 m?

Passo 1

Dados: d V d t = 6 m 3 m i n

r a i o e s f e r a = 13 m

h a g u a = 8 m

Passo 2

Como pede-se d y d t ,vamos derivar a equação do Volume em relação ao tempo. Uma vez que o raio não varia.

d V d t = π 3     2 y d y d t 3 R - y + y 2 - d y d t

Utilizei a regra do produto. Pode fazer distributiva antes de derivar sem problema algum!

d V d t = π 3 6 R y d y d t - 2 y 2 d y d t - y 2 d y d t

d V d t = π 3 6 R y d y d t - 3 y 2 d y d t

Passo 3

Substituindo os dados temos:

- 6 m 3 m i n = π 3 6 × 13 m × 8 m d y d t - 3 × 64 m 2 d y d t

- 6 m 2 m i n = π 3 d y d t     [   432 ]

A vazão é negativa pois ela sai do reservatório.

Resposta

d y d t = - 0.0133 m m i n

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