Movimento em um plano As coordenadas de uma partícula em um plano xy são funções deriváveis do instante t com dx/dt = - 1 m/s e dy/dt = - 5 m/s. Qual a taxa de variação da distância entre a partícula e a origem quando esta passa pelo ponto (5, 12)?

Passo 1

Problema desse tipo assim é sempre bom fazer um esboço só pra ter noção do que acontece.Dados:

d x d t = - 1 m s       ; d y d t =   - 5 m s

x = 5 ;       y = 12

Passo 2

A distância entre a partícula e a origem é dada por:

s 2 = x 2 + y 2 ;                         s = 5 2 + 12 2 = 13

Passo 3

A taxa de variação da distância entre a partícula e a origem é dada por d s d t e podemos calcular isso derivando a expressão do passo anterior em relação ao tempo para encontrar essa taxa:

2 s d s d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Cortando o número 2 e substituindo os valores:

13 m × d s d t = 5 m ×   - 1 m s + 12 m × - 5 m s  

d s d t = - 65 13 m s

Resposta

d s d t = - 5   m / s

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