Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 67
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.
Passo 1
Bom, galera nesse exercício queremos mostrar que as famílias das curvas
São trajetórias ortogonais uma em relação à outra. Ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família.
E pra isso temos que lembrar que duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção
Para que as curvas sejam perpendiculares, o coeficiente angular de uma reta tangente à curva deve ser igual ao inverso negativo do coeficiente da outra curva. Assim, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.
Ou seja:
Então precisaremos dos coeficientes angulares de cada uma delas para compararmos e ver se isso acontece.
Sendo o coeficiente angular dado pela derivada da curva no ponto de interseção.
Bom, vamos ver se isso é verdade.
Passo 2
Vamos começar com a primeira família de curvas, que está expressa como:
Pela regra do expoente sua derivada será:
Em um ponto arbitrário , a inclinação da reta tangente é
Show, vamos guardar essa informação e calcular o coeficiente angular da outra família de curvas.
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para a outra curva
Mas aqui, para encontrar precisaremos fazer uma derivação implícita. Para isso derivamos cada uma das parcelas em relação a e entendendo que é uma função de que.
Assim:
O que nos dará:
Agora, vamos isolar , para termos a inclinação da reta tangente a curva que derivamos
Assim:
Como
Podemos substituir em , ficando com
Em um ponto arbitrário , a inclinação da reta tangente é
Veja que realmente uma é o inverso negativo da outra, logo as curvas são perpendiculares.
Por fim, graficamente:
Resposta
Demonstração.