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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 45

Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

No ponto ( x 0 ,   y 0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma equação da reta tangente à seguinte hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Para isso, precisamos lembrar que a equação de uma reta tangente em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) é dada por:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Onde o coeficiente angular da reta é a derivada y ' . E como a nossa equação é tem o y implícito, isso significa que vamos ter que usar a derivação implícita.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação da elipse:

d d x x 2 a 2 - y 2 b 2 = d d x ( 1 )

Então, derivando implicitamente em relação a x , temos:

2 x a 2 - 2 y y ' b 2 = 0

Agora, queremos isolar y ' , que é o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole. Isolando, temos:

2 y y ' b 2 = 2 x a 2

y ' = 2 x b 2 a 2 2 y

E simplificando:

y ' = x b 2 y a 2

Passo 3

Agora substituindo y ' na equação da reta, vamos ter:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

y - y 0 = x b 2 y a 2 ( x - x 0 )

Rearranjando os termos para colocar y e b 2 do lado esquerdo da equação, chegamos na seguinte expressão:

y b 2 ( y - y 0 ) = x a 2 ( x - x 0 )

Aplicando a distributiva nos produtos, temos:

y 2 b 2 - y 0 y b 2 = x 2 a 2 - x 0 x a 2

x 2 a 2 - y 2 b 2 = - y 0 y b 2 + x 0 x a 2

Por fim, como na equação da hipérbole temos que x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , então podemos substituir na expressão encontrada, ficando com:

x 0 x a 2 - y 0 y b 2 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x 0 x a 2 - y 0 y b 2 = 1

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