Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 , y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Como queremos provar, a equação da reta tangente a elipse é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Enunciado

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a tangente a uma elipse qualquer em um ponto qualquer é da seguinte forma

Para isso utilizaremos a derivação implícita.

Primeiramente, iremos derivar a equação da elipse em ambos os lados

Agora, queremos isolar , que é o coeficiente angular da reta tangente a elipse. Isolando, temos

Como é o coeficiente angular da reta tangente a elipse, podemos utilizar a seguinte formula para encontrar a equação da reta tangente

Substituindo na fórmula, temos

Rearranjando os termos para colocar e do lado esquerdo da equação, chegamos na seguinte expressão

Distribuindo os termos para os termos dentro do parênteses, temos

Como na equação da elipse temos que

Então podemos substituir na expressão encontrada, ficando com

Como queremos provar, a equação da reta tangente a elipse é