Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 44

Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a tangente a uma elipse qualquer em um ponto qualquer é da seguinte forma

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Para isso utilizaremos a derivação implícita.

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar a equação da elipse em ambos os lados

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

2 x a 2 + 2 y y ' b 2 = 0

Agora, queremos isolar y ' , que é o coeficiente angular da reta tangente a elipse. Isolando, temos

2 y y ' b 2 = - 2 x a 2

y ' = - 2 x b 2 a 2 2 y = - x b 2 y a 2

Passo 3

Como y ' é o coeficiente angular da reta tangente a elipse, podemos utilizar a seguinte formula para encontrar a equação da reta tangente

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Substituindo y ' na fórmula, temos

y - y 0 = - x b 2 y a 2 ( x - x 0 )

Rearranjando os termos para colocar y e b 2 do lado esquerdo da equação, chegamos na seguinte expressão

y b 2 ( y - y 0 ) = - x a 2 ( x - x 0 )

Distribuindo os termos para os termos dentro do parênteses, temos

y 2 b 2 - y 0 y b 2 = - x 2 a 2 + x 0 x a 2

y 2 b 2 + x 2 a 2 = y 0 y b 2 + x 0 x a 2

Como na equação da elipse temos que

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Então podemos substituir na expressão encontrada, ficando com

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Resposta

Como queremos provar, a equação da reta tangente a elipse é

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos sobre a lemniscata do exercício 31 onde a tangente é horizontal.
( a ) A curva com equação y 2 = x 3 + 3 x 2 é denominada cúbica de Tschirnhausen. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1 ,- 2 ) . ( b ) Em que pontos essa curva tem uma tangen
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
Onde a reta normal à elipse x 2 - x y + y 2 = 3 no ponto ( - 1 ,1 ) intercepta a elipse uma segunda vez?