Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 20
Derive a função
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função
em relação a .
Para isso, veja que é formada por uma função que possui em seu argumento outra função. Ou seja, temos uma função dentro da outra, o que chamamos função composta.
Mas antes de cair pra dentro dessa derivação, vamos usar as propriedades do logaritmo para ajudar a gente a deixar essa função um pouco mais simples de ser derivada.
Então a ideia inicial é essa, vamos mexer na função para facilitar ao máximo a sua resolução, depois a gente analisa qual a melhor regra de derivação para o nossa caso.
Bom, essas serão nossas ferramentas de hoje. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar juntando tudo que vamos precisar. Nossa função é:
E para facilitar nossa vida, vamos transformar essa raiz em expoente fracionário:
Agora podemos usar essa propriedade do logaritmo:
Assim, nossa função se torna:
Isso facilita um pouco a nossa vida.
Outra propriedade que podemos usar é essa aqui:
E nossa função se transforma novamente. Assim:
Maravilha! Já ficou bem melhor. Agora basta fazer a derivada de cada termo que está dentro dos colchetes. Assim:
Passo 3
Vamos começar com:
E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:
E a regra da cadeia é
a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
A derivada da de fora é a derivada de , então sua derivada será dada por:
Como
Show, e a derivada da função e dentro é
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Arrumando um pouco melhor, ficamos com:
Passo 4
O segundo termo é bem parecido. Precisamos agora de:
E também estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Assim:
E a regra da cadeia é
a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
A derivada da de fora é a derivada de , então sua derivada será dada por:
Como
Show, e a derivada da função e dentro é
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Arrumando um pouco melhor, ficamos com:
Show. Agora basta encaixar esses resultados em nossa função original.
Passo 5
Lembrando que estamos fazendo:
Substituindo o que acabamos de encontrar, teremos:
Colocando o e evidência, teremos:
Tirando o mmc, entre os denominadores, e simplificando o , ficamos com:
Reduzindo os termos semelhantes do numerador, teremos:
Aplicando o produto notável diferença de quadrados no denominador, temos:
reorganizando
Ufaa!! Agora tá bom, né!
Valeu, galera! Até a próxima! 😉