7 – 46 Encontre a derivada da função.

15. f(t) = e^(at) * sen(bt)

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

f t = e a t sin ⁡ b t

E sempre que precisamos derivar uma função, a ideia é olhar direitinho pra entender quais são suas características e assim descobrir a melhor estratégia de derivação.

No caso de nossa função f t , perceba que ela é formada pelo pela multiplicação de duas outras funções. Podemos vê-las como sendo:

g t = e a t

E

h t = sin ⁡ b t

assim,

f t = g t h t

E para fazer essa derivada, basta usarmos a regra do produto, que é essa aqui:

f ' = g ' h + g h '

Assim, precisaremos das funções g ( t ) , h t e de suas derivadas para aplicação nessa fórmula.

Vamos ver como desenrolar essa questão, então.

Passo 2

Já sabemos que nossa função é:

f t = e a t sin ⁡ b t

com

g t = e a t

E

h t = sin ⁡ b t

Vamos procurar suas derivadas. Começando com

g t = e a t

Opa, essa daí é uma função exponencial, isso porque a variável está no expoente, mas ela não está sozinha, ela está sendo multiplicada por uma constante a . Dizemos que essa é uma função composta.

E sua derivada será dada pela regra da cadeia, que é essa aqui:

e u ' = e u ⋅ u '

E como a derivada a t ' = a , temos:

g ' t = e a t a

Show. Agora vamos procurar a derivada de h t . Sendo:

h t = sin ⁡ b t

também temos aqui uma função composta e novamente usaremos a regra da cadeia. Sendo:

sin ⁡ u = cos ⁡ u ⋅ u '

Assim:

h ' t = cos ⁡ b t ⋅ b

Show. Já temos tudo que precisamos. Agora basta aplicar na regra do produto.

Passo 3

Lembrando que nossa função originalmente é:

f t = e a t sin ⁡ b t

E fizemos:

f t = g t h t

E sua derivada será:

f ' = g ' h + g h '

Como:

g t = e a t

g ' t = a e a t

E

h t = sin ⁡ b t

h ' t = b cos ⁡ b t

Substituindo, teremos:

f ' t = a e a t ⋅ sin ⁡ b t + b cos ⁡ b t ⋅ e a t

Podemos colocar o e a t em evidência:

f ' t = a sin ⁡ b t + b cos ⁡ b t ⋅ e a t

E prontinho. Derivada encontrada com sucesso!

Resposta

f ' t = a sin ⁡ b t + b cos ⁡ b t ⋅ e a t

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Derive.y = e^x * cos(2x)
Derive.y = cos(5x) / sen(2x)
Derive.g(t) = (e^t - e^(-t)) / (e^t + e^(-t))