Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 15
7 – 46 Encontre a derivada da função.
15.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E sempre que precisamos derivar uma função, a ideia é olhar direitinho pra entender quais são suas características e assim descobrir a melhor estratégia de derivação.
No caso de nossa função , perceba que ela é formada pelo pela multiplicação de duas outras funções. Podemos vê-las como sendo:
E
assim,
E para fazer essa derivada, basta usarmos a regra do produto, que é essa aqui:
Assim, precisaremos das funções , e de suas derivadas para aplicação nessa fórmula.
Vamos ver como desenrolar essa questão, então.
Passo 2
Já sabemos que nossa função é:
com
E
Vamos procurar suas derivadas. Começando com
Opa, essa daí é uma função exponencial, isso porque a variável está no expoente, mas ela não está sozinha, ela está sendo multiplicada por uma constante . Dizemos que essa é uma função composta.
E sua derivada será dada pela regra da cadeia, que é essa aqui:
E como a derivada , temos:
Show. Agora vamos procurar a derivada de . Sendo:
também temos aqui uma função composta e novamente usaremos a regra da cadeia. Sendo:
Assim:
Show. Já temos tudo que precisamos. Agora basta aplicar na regra do produto.
Passo 3
Lembrando que nossa função originalmente é:
E fizemos:
E sua derivada será:
Como:
E
Substituindo, teremos:
Podemos colocar o em evidência:
E prontinho. Derivada encontrada com sucesso!