Encontre f'(x) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f' .

f(x) = raiz(1 - x^2) arcsen(x)

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

Bom, galera, nesse exercício iremos derivar a nossa função

f x = 1 - x 2 a r c s e n   x

em relação a x e iremos traçar o gráfico da função e da sua derivada com o objetivo de verificar se a resposta está correta.

Parece complicado? 👀

Primeiramente, iremos derivar f x . Veja que f x é composta pelo produto de duas funções

1 - x 2

E

arcsin ⁡ x

e que dentro da raiz há uma função de x .

Dessa forma, deveremos utilizar a regra do produto de funções, que ocorre da seguinte maneira

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

E a regra da cadeia, utilizada quando temos uma derivação de uma função composta:

Se y = f g x e u = g ( x ) então y = f ( u ) e a derivada de y é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

onde após derivar a raiz deveremos derivar a função presente dentro da raiz e multiplicar a derivada pela derivada da raiz.

Veja só! 😉

Passo 2

Sabemos que

f x = 1 - x 2 arcsin ⁡ x

E sabemos pela tabela de derivadas, que

d d x x α = α x α - 1

E

d d x arcsin ⁡ x = 1 1 - x 2

Agora utilizando a fórmula acima e a regra do produto, teremos:

f ' x = 1 - x 2 ' arcsin ⁡ x + 1 - x 2 arcsin ⁡ x '

Vamos derivar

1 - x 2

Utilizando a regra da cadeia:

d d x 1 - x 2 = d u d u ∙ d d x 1 - x 2

= 1 2 1 - x 2 ∙ - 2 x

Agora podemos prosseguir com a regra da cadeia, substituindo as derivadas que já temos:

f ' x = - x 1 - x 2 arcsin ⁡ x + 1 - x 2 ∙ 1 1 - x 2

Simplificando:

f ' x = - x arcsin ⁡ x 1 - x 2 + 1

Passo 3

Podemos esboçar o seguinte gráfico com o auxílio do GeoGebra:

Onde a função verde é f ( x ) e a função vermelha é f ' ( x ) .

Podemos concluir que a resposta da derivada é razoável com base no gráfico feito. Podemos concluir isso pois quando f ' x = 0 , o gráfico de f ( x ) possui uma tangente horizontal. Além disso, quando f ( x ) está diminuindo, f ' ( x ) é negativa e quando f ( x ) está aumentando f ' ( x ) é positiva.

E aí! O que achou? Responde Aí! 🤔

Resposta

f ' x = - x arcsin x 1 - x 2 + 1

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