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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 39

Duas molas de densidade constante Uma mola de densidade constante δ encontra-se ao longo da hélice

r ( t ) = ( c o s ⁡ t ) i + ( s e n ⁡ t ) j + t k ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

a. Encontre I z - b. Suponha que você tenha outra mola de densidade constante δ com o dobro do comprimento da mola no item (a) e que esteja ao longo da hélice para 0 ≤ t ≤ 4 π . Você espera que I z para a mola mais longa seja o mesmo que para a mola mais curta ou que ele seja diferente? Verifique sua previsão calculando I z para a mola mais longa.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo coordenado z de uma mola que se encontra ao longo de uma hélice r ( t ) = c o s ⁡ t i → + ( s e n ⁡ t ) j → + t k , c o m   0 ≤ t ≤ 2 π , de densidade ( δ ) constante, utilizaremos a integral de linha apresentada na teoria do livro, na página 365 , tabela 16.1 :

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r d t d t

Passo 2

(a)O vetor posição é dado no enunciado do problema: r ˙ ( t ) = c o s ⁡ t i ˙ + ( s e n ⁡ t ) j ˙ + t k ‾ .Vamos calcular a sua derivada:

d r ‾ d t = ( - s e n ⁡ t ) i + ( c o s ⁡ t ) j + k →

Passo 3

Vamos precisamos do módulo do vetor posição d r d t :

d r d t = ( s e n ⁡ t ) 2 + ( c o s ⁡ t ) 2 + 1 = 2

A partir daqui podemos então começar a calcular os momentos de inércia em relação ao eixo z .

Substituindo d r d t pelo valor encontrado e x = c o s ⁡ t , y = s e n ⁡ t , teremos então que:

I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d s = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r d t d t   = ∫ 0 2 π     c o s 2 ⁡ t + s e n 2 ⁡ t δ 2 d t = 2 π δ 2

Passo 4

(b) Se a mola de densidade ( δ ) constante dobra de tamanho e está ao longo da mesma hélice do item anterior, com 0 ≤ t ≤ 4 π , o momento de inércia será:

I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d s = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t   = ∫ 0 4 π     c o s 2 ⁡ t + s e n 2 ⁡ t δ 2 d t = 4 π δ 2

Resposta

Resposta nos passos.

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