Momento de inércia de uma argola de arame Uma argola

de arame circular com densidade constante d encontra-se ao

longo da circunferência x2 + y2 = a2 no plano xy. Encontre o

momento de inércia da argola em relação ao eixo z.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para encontrarmos o momento de inércia em relação ao eixo z de um fio circular de forma x 2 + y 2 = a 2 no plano x y , cuja densidade ( δ ) é constante.

Para isso, vamos utilizar a integral de linha apresentada na teoria do livro, página 365 tabela 16.1:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o vetor posição.Devido à simetria do problema é interessante usarmos coordenadas polares:

x = a c o s ⁡ t  e  y = a s e n t ,  com  0 ≤ t ≤ 2 π

Como sabemos que o vetor posição é r → = x i → + y j → , vamos substituir os valores de x ( t ) e y ( t ) na expressão anterior.Assim, teremos que: r → ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → Em seguida, vamos calcular a sua derivada:

d r → d t = ( -  asent  ) i → + ( a c o s ⁡ t ) j →

E agora podemos chegar ao módulo do vetor posição d r → d t :

d r ‾ d t = ( -  asent  ) 2 + ( a c o s ⁡ t ) 2 = a 2 s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = a

Lembrando que pela relação fundamental da trigonometria s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = 1 .

Passo 3

A partir daqui podemos voltar em:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t

E fazer a substituição d r → d t pelo valor encontrado.

Passo 4

Teremos então que:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 2 π   ( a a s e n t ) 2 + ( a c o s ⁡ t ) 2 δ a d t = ∫ 0 2 π   a 3 δ d t = 2 π δ a 3

Resposta

Resposta nos passos.

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