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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 37

Momento de inércia de uma argola de arame Uma argola

de arame circular com densidade constante d encontra-se ao

longo da circunferência x2 + y2 = a2 no plano xy. Encontre o

momento de inércia da argola em relação ao eixo z.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para encontrarmos o momento de inércia em relação ao eixo z de um fio circular de forma x 2 + y 2 = a 2 no plano x y , cuja densidade ( δ ) é constante.

Para isso, vamos utilizar a integral de linha apresentada na teoria do livro, página 365 tabela 16.1:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o vetor posição.Devido à simetria do problema é interessante usarmos coordenadas polares:

x = a c o s ⁡ t  e  y = a s e n t ,  com  0 ≤ t ≤ 2 π

Como sabemos que o vetor posição é r → = x i → + y j → , vamos substituir os valores de x ( t ) e y ( t ) na expressão anterior.Assim, teremos que: r → ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → Em seguida, vamos calcular a sua derivada:

d r → d t = ( -  asent  ) i → + ( a c o s ⁡ t ) j →

E agora podemos chegar ao módulo do vetor posição d r → d t :

d r ‾ d t = ( -  asent  ) 2 + ( a c o s ⁡ t ) 2 = a 2 s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = a

Lembrando que pela relação fundamental da trigonometria s e n 2 ⁡ t + c o s 2 ⁡ t = 1 .

Passo 3

A partir daqui podemos voltar em:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t

E fazer a substituição d r → d t pelo valor encontrado.

Passo 4

Teremos então que:

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 2 π   ( a a s e n t ) 2 + ( a c o s ⁡ t ) 2 δ a d t = ∫ 0 2 π   a 3 δ d t = 2 π δ a 3

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = xi →+ yj →, γ t = t ,t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 n → a normal com componente y0
Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?
Encontre uma equação para o plano através da origem de modo que a circulação do campo de escoamento F = z i + x j + y k ao redor da circunferência de interseção do plano com a esfera x 2 + y 2 + z 2 =
Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2) sobre a curva involuta r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t - t cos t) j , 0 = t = sqrt(3)