Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 9
Duas partículas e deslocam-se no espaço com velocidades constantes e , respectivamente. No instante a encontra-se na posição . Sabe-se que a trajetória descrita por passa pelo ponto . Qual deverá ser a posição de no instante para que a distância mínima entre elas seja a menor possível?
Passo 1
Como a velocidade é constante, a posição das duas partículas, como função do tempo, é dada por
Sabemos que , de modo que para a primeira partícula:
Já para a partícula 2, não sabemos sua posição inicial, então vamos chamá-la de
Assim,
Assim, a distância em quadrado entre as partículas, como função do tempo, é dada por
Assim,
Passo 2
Veja que a função que queremos minimizar tem 4 variáveis. Será que isso tá certo? A resposta é: ainda não! Não podemos esquecer que o ponto está restrito a uma reta cujo vetor diretor é e que passa pelo ponto . Assim, temos que para algum :
Assim,
Substituindo isso na expressão para :
Assim,
Note que agora temos uma função de duas variáveis apenas para minimizar (ufa). Desenvolvendo a expressão:
Assim,
Por simplicidade de notação, vamos escrever :
Nosso objetivo é minimizar .
Passo 3
Note que é forma quadrática nas variáveis e . Vimos no problema 2 desta seção que esse tipo de função tem apenas um ponto crítico e que será tanto um extremo local como global. Assim, o que temos que fazer é achar esse ponto crítico e mostrar que ele é um mínimo local pelo método do hessiano.
Derivando:
Igualando ambas as derivadas a zero:
A solução desse sistema é
Este é o único ponto crítico!
Passo 4
Vamos tomar agora as segundas derivadas:
Assim, o hessiano será
Assim, como e , o ponto crítico é ponto de mínimo local. Como se trata de uma forma quadrática, este ponto é mínimo global. Assim,
Portanto, a posição da partícula 2 em para que a menor distância entre as partículas seja mínima é