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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 15 d

Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y =

d) x 2 - y 2 + 4 z 2 + 2 x z - 4 y z - 3 x - 6 z

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos primeiro. Vamos derivar a função,

∂ f ∂ x x , y = 2 x + 2 z - 2

∂ f ∂ y x , y =   - 2 y - 4 z

∂ f ∂ z x , y = 8 z + 2 x - 4 y - 6

Encontrando o número crítico,

∂ f ∂ x x , y = 0 =   ∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ z x , y

Temos que

2 x + 2 z = 2   - 2 y - 4 z = 0 - 4 y + 2 x + 8 z = 6  

Do sistema, temos: z = 4 14 2 y = - 4 ⋅ 4 14 y =   - 16 28 y =   - 4 7 2 x = 2 - 2 ⋅ 4 14 2 x = 2 - 4 7 2 x = 10 7 x = 5 7

Nosso candidato a numero critico é o ponto ( 5 7 , - 4 7 , 4 14 ) .

Passo 2

Vamos analisar se ele é mínimo ou máximo. Precisamos encontrar as derivadas que precisamos para completar as hessianas. Ou seja,

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = - 2

∂ 2 f ∂ z 2 x , y = 8

∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ z   x , y = 2

∂ 2 f ∂ y ∂ z   x , y = - 4

Passo 3

Substituindo nas hessianas,

H = 2 0 2 0 - 2 - 4 - 2 - 4 8 =   - 32 + 8 - 32 < 0  

e,

H 1 = 2 0 2 - 2 = - 4 < 0

Pelas hipóteses da questão, temos que ( 5 7 , - 4 7 , 4 14 ) não é mínimo e nem máximo.

Resposta

( 5 7 , - 4 7 , 4 14 ) temos que não é mínimo e nem máximo.

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