Considere o sistema de partículas P 1 , P 2 , ..., P n , localizados nos pontos ( x 1 ,y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ..., ( x n , y n ) e de massas m 1 , m 2 , ..., m n . Seja N = ( x , y ) . Determine N para que o momento de inércia do sistema, em relação a N , seja mínimo.

N = x = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i ,y = ∑ i = 1 n m i y i ∑ i = 1 n m i

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 12

Considere o sistema de partículas , , ..., , localizados nos pontos , , ..., e de massas , , ..., . Seja . Determine para que o momento de inércia do sistema, em relação a , seja mínimo.

Passo 1

A questão fornece um sistema de partículas e pede para acharmos o ponto em que o momento de inércia é o menor possível. Para isso, lembre-se que o momento de inércia de uma partícula com relação a um ponto é o produto da massa da partícula pela sua distância até o ponto ao quadrado. Assim, para a -ésima partícula:

Somando para todas as partículas:

Chamando , temos que

Essa é a função que queremos minimizar.

Passo 2

Note que é uma função quadrática de e , de modo que ela tem um único ponto crítico e esse ponto crítico será um extremo global (ver exercício 2). Temos que achar esse ponto e provar que ele é ponto de mínimo.

Derivando com relação a :

Assim,

Logo,

Para :

Fazendo literalmente a mesma conta, chegamos em

Note que obtivemos as coordenadas do centro de massa do sistema!

Passo 3

Vamos provar agora que esse ponto é de mínimo:

Assim, o hessiano será

Assim, como e ,o ponto crítico é ponto de mínimo local. Como se trata de uma forma quadrática, este ponto é mínimo global. Assim, o centro de massa do sistema é ponto que minimiza o momento de inércia.

Resposta

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Seja f x , y = a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + l , onde a ,b ,c ,d ,e e l são constantes. Prove que se ( x 0 , y 0 ) for extremante local de f , então será extremante global.

Duas partículas P 1 e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades constantes v → 1 = ( 1,1 , 0 ) e v → 2 = ( 0,1 , 1 ) , respectivamente. No instante t = 0 a P 1 encontra-se na posição 1,1 , 3 . Sabe-se

Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 e y ≥ 0 . Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.

Seja f ( x , y ) uma função que admita derivadas parciais em todo o R 2 . Suponha que f admita um único ponto crítico ( x 0 , y 0 ) e que este ponto crítico seja ponto de máximo local. Pode-se conclui