Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 12
Considere o sistema de partículas , , ..., , localizados nos pontos , , ..., e de massas , , ..., . Seja . Determine para que o momento de inércia do sistema, em relação a , seja mínimo.
Passo 1
A questão fornece um sistema de partículas e pede para acharmos o ponto em que o momento de inércia é o menor possível. Para isso, lembre-se que o momento de inércia de uma partícula com relação a um ponto é o produto da massa da partícula pela sua distância até o ponto ao quadrado. Assim, para a -ésima partícula:
Somando para todas as partículas:
Chamando , temos que
Essa é a função que queremos minimizar.
Passo 2
Note que é uma função quadrática de e , de modo que ela tem um único ponto crítico e esse ponto crítico será um extremo global (ver exercício 2). Temos que achar esse ponto e provar que ele é ponto de mínimo.
Derivando com relação a :
Assim,
Logo,
Para :
Fazendo literalmente a mesma conta, chegamos em
Note que obtivemos as coordenadas do centro de massa do sistema!
Passo 3
Vamos provar agora que esse ponto é de mínimo:
Assim, o hessiano será
Assim, como e ,o ponto crítico é ponto de mínimo local. Como se trata de uma forma quadrática, este ponto é mínimo global. Assim, o centro de massa do sistema é ponto que minimiza o momento de inércia.