Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 51
Duas partículas e estão em movimento no plano . Suas coordenadas em cada instante do tempo são dadas por . Encontre a distância mínima entre e .
Passo 1
Então galera, aqui o enunciado nos cede coordenadas e que nos permite gerar uma equação geral para a distância das partículas. Para o eixo temos o seguinte:
E para o eixo temos o seguinte:
Utilizando o teorema de Pitágoras, teremos:
Show, encontramos uma expressão para a distância das partículas.
Passo 2
Como queremos a distância mínima, então estamos falando de ponto de mínimo, não é mesmo? Sendo assim, utilizando os conceitos de cálculo teremos:
Igualando nossa derivada a zero:
E a única forma disso dar zero é se:
Ok, esse é um possível ponto de mínimo. Como fazemos para confirmar se é um ponto de mínimo mesmo? Pela derivada segunda temos:
Para temos que a derivada será maior que zero, o que indica concavidade para cima e, portanto, ponto de mínimo no que encontramos!
Passo 3
Como achamos o para que a distância seja mínima, então vamos descobrir qual é essa bendita distância, se liga:
E esse é o nosso resultado, galera!