Uma lâmpada é suspensa acima do centro de uma mesa circular de raio r . A que altura acima da mesa ela deve ser colocada para se obter o máximo de iluminação na borda da mesa? [Suponha que a iluminação I seja diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de incidência ϕ dos raios de luz e inversamente proporcional ao quadrado da distância l da fonte de luz (Figura Ex-49).]

Passo 1

Então pessoal, o enunciado nos diz para supor que a iluminação I seja diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de incidência ϕ dos raios de luz e inversamente proporcional ao quadrado da distância l da fonte de luz, assim como mostrado na figura da questão. Escrevendo isso, teremos:

I = k . cos ⁡ ϕ l 2

Aqui k é uma constante de proporcionalidade qualquer, tudo jóia? Show! Ademais, pelo triângulo retângulo da figura, temos que a altura da mesa até a fonte de luz é:

cos ⁡ ϕ = h l ⇒ h = l . cos ⁡ ϕ

E também, pelo teorema de Pitágoras:

l = h 2 + r 2

Substituindo tudo isso na expressão de I , teremos:

I = k . h l 3

I = k . h h 2 + r 2 3 2

Show!

Passo 2

Estabelecemos uma função de I h , uma vez que o raio é constante aqui pra gente! Como queremos a altura para que a iluminação seja máxima, então:

d I d h = k . h 2 + r 2 3 2 - h . 3 2 h 2 + r 2 1 2 . 2 h h 2 + r 2 3

d I d h = k . r 2 - 2 h 2 h 2 + r 2 5 2

Agora igualando nossa derivada a zero para determinarmos os pontos críticos da função, teremos:

k . r 2 - 2 h 2 h 2 + r 2 5 2 = 0

Isso só é zero se:

r 2 - 2 h 2 = 0

h = r 2

E essa é a altura necessária para I ser máximo, galera! 😉

Resposta

h = r 2

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