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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 48

Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma vai para o leste a 4 km/h e a outra, para o nordeste a 2 km/h. Quão rápido está variando a distância entre as pessoas após 15 minutos?

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos uma pessoa andando para leste a 4   k m / h e outra pessoa andando para nordeste a 2   k m / h . A partir daí queremos saber quão rápido essas duas pessoas estão se distanciando depois de 15   m i n u t o s .

Tem ideia de como fazemos isso?

Vamos alocar esse problema no plano cartesiano de modo que as pessoas são como pontos

A = ( x A , y A )

B = ( x B , y B )

e que o sentindo norte corresponde ao positivo de y e o sentido leste corresponde ao sentido positivo de x .

Assim, podemos escrever a posição de ambos de forma vetorial em função do tempos e usar a formulinha para distancia entre dois pontos para poder relacionar a distancia entre eles e a velocidade.

d A B = x B - x A 2 + y B - y A 2

Veja só!

Passo 2

Então a trajetória descrita por elas em um tempo t em horas é:

A ) Anda a 4 km/h para o leste:

x A = 4 t

y A = 0

B ) Anda a 2 km/h para o nordeste:

x B = 2 cos ⁡ ( 45 ° ) t = t 2

y B = 2 sen ⁡ ( 45 ° t ) t = t 2

Logo, a distância entre A e B é dada por:

d A B = x B - x A 2 + y B - y A 2

d A B = t 2 - 4 t 2 + t 2 - 0 2

Simplificando...

d A B = t 2 ( 2 - 4 2 + 2 t 2

d A B = t 20 - 8 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa de variação entre as duas pessoas, derivamos em relação a t

d A B ' t = d t 20 - 8 2 d t

d ' A B t = 20 - 8 2

d ' A B t = 2,947251516

Logo, a distância entre as duas pessoas varia a uma taxa constante de aproximadamente 2,95 km/h.

Perceba que a taxa é constante justamente porque a velocidade das pessoas é constante.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A distância entre as duas pessoas varia a uma taxa de aproximadamente 2,95 km/h.

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