Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 43

37) Uma câmera de televisão está posicionada a de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de elevação da câmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor que o foguete suba verticalmente e com velocidade de quando já tiver subido .

(a) Quão rápido estará variando a distância da câmera ao foguete naquele momento?

(b) Se a câmera de televisão se mantiver sempre na direção do foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela naquele mesmo momento?

Passo 1

Opa, bora lá! Imagina que a gente ta filmando o lançamento de um foguete! Posicionamos a câmara a da base de lançamento de foguete e a medida que o foguete sobe vamos aumentando esse ângulo pra focar.

O enunciado diz que quando o foguete esta em uma altitude de a sua velocidade vertical é de m/s. Sabendo disso temos que responder algumas coisas!

Item a: Quão rápido estará variando a distância da câmera ao foguete quando e a velocidade é m/s.

Vamos chamar de a distância entre a câmera e o foguete em metros, de a altura do foguete em metros e de o ângulo de inclinação em radianos.

Podemos encarar essa situação como um triângulo retângulo da seguinte forma:

Logo, a relação entre e é:

Passo 2

Derivando em função do tempo em segundos, temos:

Logo, quando o foguete já tiver subido a uma taxa de variação , a taxa de variação da distância será dada por:

Portanto, a distância da câmera ao foguete varia a uma velocidade de .

Passo 3

Item b: Se a câmera de televisão se mantiver sempre na direção do foguete, quão rápido estará variando o ângulo de elevação dela naquele mesmo momento?

A relação entre a altura de foguete e o ângulo descrito é dada pela relação trigonométrica:

Passo 4

Agora, vamos derivar para correlacionar as taxas de variação:

Logo, quando o foguete já tiver subido a uma taxa de variação , a taxa de variação do ângulo é dada por:

Portanto, a taxa de variação do ângulo é .

Resposta

(a)A distância da câmera ao foguete varia a uma velocidade de .

(b)A taxa de variação do ângulo é .

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