Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f'(x1) / f(x1) ou, equivalentemente,

dy / dx / y calculada em x = x1.

34. Uma empresa inicia seus negócios em 1º de abril de 1987. Os rendimentos anuais brutos da firma após t anos de operação são de p, onde

p = 50000 + 18000*t + 600*t^2

c) Ache a taxa em que que o rendimento bruto deverá estar crescendo em 1º de abril de 1997;

d) Ache a taxa prevista de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de abril de 1997, com aproximação de 0,1 por cento.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “c” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de até 0,1 porcento pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de abril de 1987, logo até o dia 1º de janeiro de 1997 só se passaram 10 anos, assim t = 10 será o instante avaliado.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:

p ( t ) = 50000 + 18000 t + 600 t 2

p ' t = 18000 + 1200 t

Passo 3

Agora substituindo t = 10 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:

p ' t = 18000 + 1200 t

p ' 10 = 18000 + 1200 ( 10 )

                                                      = 18000 + 12000 = 30000

Passo 4

Agora para resolver o item “d” vamos calcular somente p(10), já que o p’(10) já foi calculado no item “c”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 10 = 30000

p 10 = 50000 + 18000 ( 10 ) + 600 ( 10 ) 2

            = 50000 + 180000 + 600 ( 100 )

      = 230000 + 60000 = 290000

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 10 p 10

= 30000 290000 ≈ 0,103 ⇒ 1 0,3 %

Resposta

  1. A taxa em que o rendimento bruto crescerá em 1º de abril de 1997 será de 30000 ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de abril de 1997 será de 10,3%.
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