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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 34

Suponha que você esteja escalando uma colina cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0.005 x 2 - 0.01 y 2 , onde x , y e z são medidos em metros, e você está parado no ponto de coordenadas 60,40,966 . Os pontos positivo de x são positivos para leste e os pontos de y são positivos para o norte.

  1. Se você caminhar para o sul, você vai começar a subir ou descer? A que ritmo?
  2. Se você andar para noroeste, você vai começar a subir ou descer? A que ritmo?
  3. Em que direção a encosta é maior? Qual é a taxa de ascensão nessa direção? Em que ângulo acima da horizontal começa o caminho nessa direção?

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Nessa atividade, a gente está escalando uma colina de forma:

z = 1000 - 0.005 x 2 - 0.01 y 2

E queremos saber nas letras a) e b) se iremos começar a subir ou descer com base na direção que caminhamos e qual é esse ritmo de crescimento ou descrecimento.

Para saber se irá subir ou descer devemos calcular a derivada direcional, se ela for positiva, isso quer dizer que o nível está aumentando, se for negativa quer dizer que está descendo.

No item c , devemos calcular a taxa máxima através do módulo do vetor gradiente. Assim igualaremos

t g   θ = ∇ f

Isso é, iremos igualar a tangente do ângulo da direção ao modulo do vetor gradiente.

Passo 2

  1. Temos então que:

    2. F = 1000 - 0.005 x 2 - 0.01 y 2 - z

    Precisamos encontrar as derivdas parciais em relação a x e y :

    Derivando em relação a x e mantendo todas as outras variáveis como constantes:

      f x = - 0,01 x

    Derivando em relação a y e mantendo todas as outras variáveis como constantes:

    f y = - 0,02 y

    Temos então que o nosso gradiente é:

    ∇ f x , y =   - 0.01 x , - 0,02 y

    No ponto que estamos na colina:

    ∇ f 60,40 = - 0 . 6 , - 0 . 8

    Para o sul temos o vetor:

    u = - j

    u = 0 , - 1

    A derivada direcional é então

    D u f x , y = u ⋅ ∇ f

    Substituindo o que já encontramos:

    D u f 60,40 = - 0,6 , - 0,8 ⋅ 0 , - 1

    Realizando o produto vetorial:

    D u f ( 60,40 ) = 0 . 8

    Logo, como D u f > 0 se você andar para o sul você irá subir uma taxa de 0,8 m na vertical para cada metro na horizontal.

    Passo 3

  2. Para o nordeste, o vetor unitário será:

    3. Veja que o 2 fora colocado como denominador para gerarmos o vetor unitário, esse valor é encontrado a partir do modulo do vetor 1,1 .

    u = 1 2 - 1,1

    Encontrando a derivada direcional:

    D u f x , y = u ⋅ ∇ f

    D u f 60,40 = - 0 . 6 , - 0 . 8 ⋅   1 2 , 1 2  

    Realizando então o produto escalar:

    D u f 60,40 = - 0.6 ⋅ 1 2 - 0.8 ⋅ 1 2

    Temos então que nossa derivada direcional é:

    D u f 60,40 =   - 0,2 2

    Como D u f < 0 , estamos então descendo a colina a taxa de - 0.2 2 .

    Passo 4

  3. Veja que, se temos uma função diferenciavel f o valor máximo da deivada direcional D u a , b é ∇ f a , b e ocorre quando u tem a mesma direção do vetor gradiente ∇ f a , b .

O gradiente de f é:

∇ f x , y = f x x , y ,   f y x , y

E nesse caso é:

∇ f x , y =   - 0.01 x , - 0,02 y

Como já obtivemos:

No ponto dado, é de:

∇ f 60,40 = - 0.6 ,   - 0.8

Então o valor máximo da ascenção será:

∇ f 60,40 = - 0.6 2 + - 0.8 2

∇ f 60,40 = 1

Então a taxa é de 1 e ocorre ao longo de - 0.6 ,   - 0.8 . O ângulo é dado por:

tan ⁡ θ = ∇ f

tan ⁡ θ = 1

θ = π 4

Resposta

  1. Logo, como D u f > 0 se você andar para o sul você irá subir uma taxa de 0,8 m na vertical para cada metro na horizontal.
  2. Como D u f < 0 , estamos então descendo a colina a taxa de - 0.2 2 .
  3. θ = π 4   ;   ∇ f 60,40 = 1
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Calcular (del f)/(del v) (x_0 , y_0) na direção vec v = 2 vec i - vec j :f (x , y) = (x + y)/(1 - x) ; (x_0 , y_0) = (0 , (1)/(2))
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A derivada direcional da função w = f ( x , y ) em P 0 1,1 na direção do vetor P 0 P 1 → , P 1 1,2 , é 2, e na direção do vetor P 0 P 2 → , P 2 2,0 , é 4. Quanto vale ∂ w ∂ s em P 0 na direção do veto
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?a) f x , y = 2 x 2 + x y + 2 y 2 em 1,1