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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 51

Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Passo 1

Oie, vou te ajudar a entender essa atividade.

Veja bem, a gente tem a equação do elipsoide dada por:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

E queremos mostrar que a equação de um plano tangente a essa elipsoide pode ser escrita como:

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1

Primeiramente, fazemos a derivada parcial de cada uma das coordenadas da equação da elipsoide.

Montamos o vetor gradiente para pontos genéricos. Com isso, podemos montar a equação do plano tangente e verificar se a proposição da questão está correta.

A equação do plano tangente em um ponto genérico x 0 , y 0 ,   z 0 é dada por:

F x x , y , z x - x 0 + F y x , y , z y - y 0 + F z x , y , z z - z 0 = 0

Passo 2

Vamos primeiro calcular então o gradiente de F :

F x , y , z = x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2

Sendo que o gradiente é dado por:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = F x , F y , F z

Derivando então cada um parcialmente:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 a ² , 2 y 0 b ² , 2 z 0 c ²

A equação do plano tangente em ( x o , y o , z o ) é:

F x x , y , z x - x 0 + F y x , y , z y - y 0 + F z x , y , z z - z 0 = 0

Substituindo:

2 x a 2 x - x 0 + 2 y b 2 y - y 0 + 2 z c 2 z - z 0 = 0

Dividindo ambos os lados por 2 e realizando as multiplicações:

x 2 a 2 - x ⋅ x 0 a 2 + y 2 b 2 - y y 0 b 2 + z 2 c 2 - z z 0 c 2 = 0

Como:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Temos então que:

1 - x x 0 a 2 - y y 0 b 2 - z z 0 c 2 = 0

Logo, x 0 a 2 x + y 0 b 2 y + z 0 c 2 z = 1 é uma equação do plano tangente.

Resposta

x o a 2 x + y o b 2 y + z o c 2 z = 1 é uma equação do plano tangente.

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