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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 5

Para x 1 2 + y 1 2 = 3 ,       d e   4,1   a   ( 1,4 ) ;   eixo x :

  1. Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.
  2. Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça também o gráfico da superfície .
  3. Use seu program gráfico ou programa para calcular integrais e determine a área da superfície numericamente.

Passo 1

  1. Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

    2. S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

    Assim, temos que:

    S = ∫ 1 4 2 π   3 - x 1 2 2 1 + 1 - 3 x - 1 2 2 d x =   2 π ∫ 1 4   3 - x 1 2 2 1 + 1 - 3 x - 1 2 2 d x

    Passo 2

  2. Você pode utilizar a calculadora gráfica do Symbolab.

    3. Passo 3

  3. Você pode utilizar o WolframAlpha ou o Symbolab. Obtém-se que S ≈ 63,366 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça com que L seja o comprimento da curva y = f x ,a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem derivada contínua. Faça com que S f seja a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo x .
A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
Mostre que se rotacionarmos a curva y = e x / 2 + e - x / 2 ao redor do eixo x , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo a ≤ x ≤ b .
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x