Faça com que L seja o comprimento da curva y = f x ,a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem derivada contínua. Faça com que S f seja a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo x . Se c é uma constante positiva, defina g x = f x + c e faça com que S g seja a área de superfície correspondente gerada pela curva y = g x ,a ≤ x ≤ b . Expresse S g em termos de S f e L .

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 38

Faça com que seja o comprimento da curva , onde é positiva e tem derivada contínua. Faça com que seja a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo . Se é uma constante positiva, defina e faça com que seja a área de superfície correspondente gerada pela curva . Expresse em termos de e .

Passo 1

O exercício nos forneceu muitas informações, o nosso objetivo é calcular o valor da área da superfície dada pela rotação da curva em torno do eixo .

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo é dada por:

E, tendo:

Substituindo na equação anterior:

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de , no entanto:

Então, derivando a função , temos:

Dessa forma, substituindo os valores de e encontrados aqui lá na equação da superfície do passo 1, temos:

Passo 3

Então, substituindo os valores para e , temos:

Sabemos, das propriedades das integrais, que a integral de uma soma, é a soma das integrais, então:

Conforme vimos no passo 1, a primeira integral corresponde a área da superfície gerada pela rotação da curva em relação ao eixo , . Já a segunda integral, devemos nos lembrar, que no começo desse capítulo, na seção 1, vimos que o comprimento de um arco de uma função pode ser dado por:

Então, reescrevendo a segunda integral ali de cima, retirando as constantes, temos:

Finalmente, temos que pode ser escrita como:

Resposta

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