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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 38

Faça com que L seja o comprimento da curva y = f x ,   a ≤ x ≤ b , onde f é positiva e tem derivada contínua. Faça com que S f seja a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo x . Se c é uma constante positiva, defina g x = f x + c e faça com que S g seja a área de superfície correspondente gerada pela curva y = g x ,   a ≤ x ≤ b . Expresse S g em termos de S f e L .

Passo 1

O exercício nos forneceu muitas informações, o nosso objetivo é calcular o valor da área da superfície S g dada pela rotação da curva y = g ( x ) em torno do eixo x .

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ 2 π y d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π y 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y = g ( x ) , no entanto:

g x = f x + c

Então, derivando a função g ( x ) , temos:

g ' x = f ' x

Dessa forma, substituindo os valores de y e d y / d x encontrados aqui lá na equação da superfície do passo 1, temos:

S g = ∫ a b 2 π g x 1 + g ' x 2 d x

Passo 3

Então, substituindo os valores para g ( x ) e g ' ( x ) , temos:

∫ a b 2 π [ f x + c ] 1 + f ' x 2 d x

Sabemos, das propriedades das integrais, que a integral de uma soma, é a soma das integrais, então:

∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x + ∫ a b 2 π c 1 + f ' x 2 d x

Conforme vimos no passo 1, a primeira integral corresponde a área da superfície gerada pela rotação da curva f ( x ) em relação ao eixo x , S f . Já a segunda integral, devemos nos lembrar, que no começo desse capítulo, na seção 1, vimos que o comprimento de um arco de uma função pode ser dado por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então, reescrevendo a segunda integral ali de cima, retirando as constantes, temos:

∫ a b 2 π c 1 + f ' x 2 d x = 2 π c ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = 2 π c L

Finalmente, temos que S g pode ser escrita como:

S g = S f + 2 π c L

Resposta

S g = S f + 2 π c L

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