Mostre que se rotacionarmos a curva ao redor do eixo , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo .

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de :

Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

Abrindo o produto notável dentro da raiz, temos:

E, agora, reescrevendo o que sobrou dentro da raiz como um produto notável, temos:

Colocando o em evidência, temos:

E, finalmente, podemos escrever a área de superfície como:

Agora, devemos nos lembrar das aplicações de integral vistas no capítulo 6 do Stewart, na seção 2, temos que o volume de uma superfície pode ser escrita como:

Em que é a área da seção obtida em um plano perpendicular ao eixo , e da mesma seção, temos que é dado por:

Então, substituindo o valor de na integral, temos:

E, no nosso caso, a função dada foi:

Substituindo esse valor na expressão do volume, temos:

Que é exatamente igual à expressão obtida para a área da superfície no final do passo 2.