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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 6

Efetua a antidiferenciação.

int 3 x sqrt(4 - x^2) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Para resolver esse problema, vamos fazer a substituição t = 4 - x^2 . Assim,

d t = - 2 x d x => x d x = - (d t)/(2)

Note que x d x é exatamente o que temos fora da raiz. Portanto,

I = int 3 x sqrt(4 - x^2) d x = - (3)/(2) int sqrt(t) d t

Passo 2

Agora é só fazer a primitiva usando a regra do tombo ao contrário:

I = - (3)/(2) int t^((1)/(2)) d t = - (3)/(2) * (2)/(3) t^((3)/(2)) + C = - t sqrt(t) + C

E podemos rescrever t sqrt(t) = t t^(1 // 2) = t^(3 // 2)

Voltando para a variável x , temos que t = 4 - x^2 :

I = - (4 - x^2)^(3 // 2) + C

Resposta

- (4 - x^2)^(3 // 2) + C

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