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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.6 - Ex. 9

Use a Tabela e integrais nas Paginas de Referências 6-10 para calcular a integral.

∫ d x x 2 4 x 2 + 9

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Vamos fazer a substituição

  x = 3 t g u 2 ⇒     d x = 3 sec 2 ⁡ u 2   d u

Sendo assim,

  4 x 2 + 9   = 9   t g 2 u + 9   = 3 sec ⁡ u ⇒       u = a r c t g   2 x 3

Substituindo na integral,

∫ d x x 2 4 x 2 + 9 = 3 2 ∫ 4 27 cot ⁡ u csc ⁡ u     d u   = 2 9 ∫ cos ⁡ u s e n 2 u   d u  

Passo 2

Vamos resolver a ultima integral. Fazendo a mudança de variável

v = s e n   u           d v = cos ⁡ u   d u  

Daí,

∫ cos ⁡ u s e n 2 u   d u   = ∫ v - 2   d v   = - v - 1 = -   s e n - 1   u   + C =   - csc ⁡ u + C  

Substituindo na integral inicial,

2 9 ∫ cos ⁡ u s e n 2 u   d u   = 2 9     - csc ⁡ u + C

Como u = a r c t g   2 x 3 ,  

2 9 ∫ cos ⁡ u s e n 2 u   d u   = 2 9     - csc ⁡ u + C = - 2 9   csc ⁡ a r c t g   2 x 3    

Resposta

  ∫ d x x 2 4 x 2 + 9 =   - csc ⁡ a r c t g   2 x 3

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