Calcule a integral

∫ x x 2 - 1 x 4 - 2 x 2 d x

Fazendo a substituição u = x^2 - 1.

Passo 1

Nós iremos resolver a integral usando substituição proposta pelo exercício. Antes disso, devemos simplificar alguns termos . No denomidador existe um termo dentro da radiciação que pode ser escrita da seguinte forma:

x 4 - 2 x 2 = x 2 - 1 2 - 1

Substituindo esse valor dentro da integral, temos:

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x

Agora, podemos resolver a integral fazendo a substituição correta.

Passo 2

Sendo a nossa função :

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x

Tendo :

u = x 2 - 1

2 x d x = d u

x d x = d u 2

Agora, podemos resolver a integral por substituição:

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x = ∫ d u 2 u . u 2 - 1

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x = 1 2 ∫ d u u . u 2 - 1

Sabemos por meio das integrais trigonométricas inversas de que a derivada de sec - 1 ⁡ ( x )   pode ser dada aplicando a regra da cadeia e obtendo a equação generalizada de d [ sec - 1 ⁡ ( u ) ] d x = d u u . u 2 - 1 .

Sabendo que a integral é o oposto da derivada, teremos que:

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x = 1 2 sec - 1 ⁡ u + C

Substituindo u , temos:

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x = 1 2 sec - 1 ⁡ x 2 - 1 + C

Resposta

∫ x x 2 - 1 ( x 2 - 1 ) 2     - 1   d x = 1 2 sec - 1 ⁡ x 2 - 1 + C

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