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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 13

Calcule a integral

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(x^4 - 2 x^2)) d x

Fazendo a substituição u = x^2 - 1 .

Passo 1

Nós iremos resolver a integral usando substituição proposta pelo exercício. Antes disso, devemos simplificar alguns termos . No denomidador existe um termo dentro da radiciação que pode ser escrita da seguinte forma:

x^4 - 2 x^2 = (x^2 - 1)^2 - 1

Substituindo esse valor dentro da integral, temos:

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x

Agora, podemos resolver a integral fazendo a substituição correta.

Passo 2

Sendo a nossa função :

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x

Tendo :

u = x^2 - 1

2 x d x = d u

x d x = (d u)/(2)

Agora, podemos resolver a integral por substituição:

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x = int (d u)/(2 u . sqrt(u^2 -) 1)

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x = (1)/(2) int (d u)/(u . sqrt(u^2 -) 1)

Sabemos por meio das integrais trigonométricas inversas de que a derivada de sec^(- 1) ( x ) pode ser dada aplicando a regra da cadeia e obtendo a equação generalizada de (d [ sec^(- 1) ( u ) ])/(d x) = (d u)/(u . sqrt(u^2 -) 1) .

Sabendo que a integral é o oposto da derivada, teremos que:

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x = (1)/(2) sec^(- 1) u + C

Substituindo u , temos:

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x = (1)/(2) sec^(- 1) |x^2 - 1| + C

Resposta

int (x)/((x^2 - 1) sqrt(( x^2) - 1 )^2 - 1) d x = (1)/(2) sec^(- 1) |x^2 - 1| + C

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