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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 14

Calcule a integral

int sqrt(1 + x^(- 2 // 3)) d x

Fazendo a substituição u = 1 + x^(2 // 3)

Passo 1

Nós iremos resolver a integral usando substituição proposta pelo exercício.

Sabemos que :

1 + x^(- 2 // 3) = 1 + (1)/(x^(2 // 3))

Substituindo esse valor dentro da integral, temos:

int sqrt(1 + (1)/(x^(2 // 3))) d x

Somando os termos dentro da radiciação da integral, temos:

int sqrt((x^(2 // 3) + 1)/(x^(2 // 3))) d x

Separando as raízes:

int (sqrt(x^(2 // 3) + 1))/(sqrt(x^(2 // 3))) d x

Dizer que sqrt(x^((2)/(3))) é o mesmo que dizer root(2)((x^((1)/(3)))^2 = x^((1)/(3))) :

int (sqrt(x^(2 // 3) + 1))/(x^(1 // 3)) d x

Reorganizando :

int x^(- 1 // 3) [sqrt(x^(2 // 3) + 1)] d x

Agora que já manipulamos a função f ( x ) a ser integrada, podemos resolver por substituição trigonométrica.

Passo 2

Sendo a nossa função :

int x^(- 1 // 3) [sqrt(x^(2 // 3) + 1)] d x

Tendo :

u = 1 + x^(2 // 3)

(2)/(3) x^(- 1 // 3) d x = d u

x^(- 1 // 3) d x = (3)/(2) d u

Agora, podemos resolver a integral por substituição:

int x^(- 1 // 3) [sqrt(x^(2 // 3) + 1)] d x = int (d u)/(2 u . sqrt(u^2 -) 1)

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = int sqrt(u) (3)/(2) d u = int (3)/(2) u^((1)/(2)) d u

Retirando a constante de dentro da integral:

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = (3)/(2) int u^((1)/(2)) d u

Resolvendo, temos:

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = (3)/(2) [(u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)] + C

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = (3)/(2) [(u^((3)/(2)))/((3)/(2))] + C

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = u^((3)/(2)) + C

Substituindo u = 1 + x^(2 // 3) :

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = ( 1 + x^(2 // 3) )^((3)/(2)) + C

Resposta

int x^(- (1)/(3)) [sqrt(x^((2)/(3)) + 1)] d x = ( 1 + x^(2 // 3) )^((3)/(2)) + C

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