Calcule a integral

∫ 1 + x - 2 / 3 d x

Fazendo a substituição u = 1 + x^(2/3)

Passo 1

Nós iremos resolver a integral usando substituição proposta pelo exercício.

Sabemos que :

1 + x - 2 / 3 = 1 + 1 x 2 / 3

Substituindo esse valor dentro da integral, temos:

∫ 1 + 1 x 2 / 3 d x

Somando os termos dentro da radiciação da integral, temos:

∫ x 2 / 3 + 1 x 2 / 3 d x

Separando as raízes:  

∫ x 2 / 3 + 1 x 2 / 3 d x

Dizer que x 2 3 é o mesmo que dizer x 1 3 2 = x 1 3 2 :

∫ x 2 / 3 + 1 x 1 / 3 d x

Reorganizando :

∫ x - 1 / 3 x 2 / 3 + 1 d x

Agora que já manipulamos a função f ( x ) a ser integrada, podemos resolver por substituição trigonométrica.

Passo 2

Sendo a nossa função :

∫ x - 1 / 3 x 2 / 3 + 1 d x

Tendo :

u = 1 + x 2 / 3

2 3 x - 1 / 3 d x = d u

x - 1 / 3 d x = 3 2 d u

Agora, podemos resolver a integral por substituição:

∫ x - 1 / 3 x 2 / 3 + 1 d x = ∫ d u 2 u . u 2 - 1

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = ∫ u 3 2 d u = ∫ 3 2 u 1 2 d u

Retirando a constante de dentro da integral:

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = 3 2 ∫ u 1 2 d u

Resolvendo, temos:

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = 3 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = 3 2 u 3 2 3 2 + C

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = u 3 2 + C

Substituindo u = 1 + x 2 / 3 :

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = ( 1 + x 2 / 3 ) 3 2 + C

Resposta

∫ x - 1 3 x 2 3 + 1 d x = ( 1 + x 2 / 3 ) 3 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados