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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 27

Efetue a antidiferenciação:

int y c o s e c (3 y^2) c o t g (3 y^2) d y

Passo 1

Queremos calcular a integral:

int y c o s e c (3 y^2) c o t g (3 y^2) d y

Vamos chamar essa integral de I daqui pra frente, show? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. Pra facilitar nossa vida e não termos que ficar lidando com regra da cadeia, vamos substituir:

u = 3 y^2

Derivando,

d u = 6 y d y

d y = (d u)/(6 y)

Substituindo isso na integral:

I = int y c o s e c (u) c o t g (u) (d u)/(6 y)

Cortando o y e botando o (1)/(6) pra fora:

I = (1)/(6) int c o s e c (u) c o t g (u) d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Da nossa tabelinha, sabemos o seguinte:

int c o s e c (x) c o t g (x) d x = - c o s e c (x)

Então aqui não vai ser diferente só porque tá com u em vez de x :

I = (1)/(6) (- c o s e c (u)) + C

Voltando pra variável original:

I = - (1)/(6) c o s e c ( 3 y^2 ) + C

Fechou!

Resposta

I = - (1)/(6) c o s e c ( 3 y^2 ) + C

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