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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 30

Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

∫ 4 s e n x d x 1 + cos ⁡ x 2

Passo 1

Inicialmente, vamos lembrar de algumas relações trigonométricas. Vem comigo!

s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x

cos 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x + 1 2

Olhando para nossa integral, vemos que o denominador é o seguinte:

1 + cos ⁡ x 2

Viu que ta parecido? Então vamos fazer assim ó:

1 + cos ⁡ x 2 =   2 cos 2 ⁡ x 2 2

Logo,

1 + cos ⁡ x 2 =   4 cos 4 ⁡ x 2

Passo 2

Agora vamos para integral:

I = ∫ 4 s e n x 4 cos 4 ⁡ x 2 d x

Como apareceu um cos ⁡ x 2 vamos escrever o s e n ( x ) em termos do arco metade. Olha só:

s e n x = 2 s e n x 2 cos ⁡ x 2

Assim,

I = ∫ 4 ⋅ 2 s e n x 2 cos ⁡ x 2 d x 4 cos 4 ⁡ x 2

Simplificando,

I = ∫ 2 s e n x 2 cos 3 ⁡ x 2 d x

Isto é,

I = 2 ∫ t g x 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Passo 3

Nesse momento temos que ter muita atenção para não se enrolar. Lembra que a derivada de t g ( x ) é sec 2 ⁡ ( x ) ? então vamos usar isso ao nosso favor. Bora fazer a seguinte substituição:

u = t g x 2

Derivando,

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Esse 1 / 2 veio da regra da cadeia beleza?! Então nossa integral vai ficar o seguinte:

I = 2 ∫ u 2 d u

Portanto,

I = 4 ∫ u   d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 4

Integrando, temos:

I = 4 ⋅ u 2 2 + k

Voltando para variável x :

I = 2 t g 2 x 2 + k

Resposta

2 t g 2 x 2 + k

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